Question

已知函數(shù)f(x)=log2

x+1

x-1

+log2(x-1)+log2(p-x)．
（1）求函數(shù)f （x）的定義域；．
（2）解關(guān)于x的不等式：f（x）＞log₂（2x²-2x-4）
（3）求函數(shù)f （x）的值域．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)對(duì)數(shù)的定義可知真數(shù)要大于0，建立關(guān)系式，求出交集即可求出函數(shù)f （x）的定義域；．
（2）先利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)整理，然后建立方程，討論p的取值范圍，從而求出不等式的解集；
（3）討論真數(shù)所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的對(duì)稱軸，從而得到二次函數(shù)在定義域上的單調(diào)性，從而得到二次函數(shù)的值域，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的值域求解方法可求出所求．

解答：解：（1）由

x+1 x-1 ＞0 x-1＞0 p-x＞0

?

x＞1或x＜-1 x＞1 x＜p

?

x＞1 x＜p

∵函數(shù)的定義域不能為空集，故p＞1，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，p）．
（2）若1＜P≤2，解集φ若P＞2，解集(2，

4+p

3

)
（3）f(x)=log2[

x+1

x-1

•(x-1)•(p-x)]=log2(x+1)(p-x)=log2[-x2+(p-1)x+p]
令t=-x2+(p-1)x+p=-(x-

p-1

2

)2+

(p+1)2

4

=g(x)
①當(dāng)

p-1 2 ＜1 p＞1

，即1＜p＜3時(shí)，t在（1，p）上單調(diào)減，g（p）＜t＜g（1），即0＜t＜2p-2，
∴f（x）＜1+log₂（p-1），
函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?∞，1+log₂（p-1））；
②當(dāng)

1≤ p-1 2 ≤ p+1 2 p＞1

即p≥3時(shí)，g(p)＜t≤g(

p-1

2

)，
即0＜t≤

(p+1)2

4

∴f（x）≤2log₂（p+1）-2，函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?∞，2log₂（p+1）-2）．
綜上：當(dāng)1＜p＜3時(shí)，函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?∞，1+log₂（p-1））；
當(dāng)p≥3時(shí)，函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?∞，2log₂（p+1）-2）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域以及對(duì)數(shù)不等式，同時(shí)考查了利用單調(diào)性研究函數(shù)值域的方法，屬于中檔題．