Question

已知△ABC的三邊分別為AB=5，BC=4，AC=3，M是AB邊上一點，P是平面ABC外一點，給出下列四個命題：
（1）若PA⊥平面ABC，則三棱錐P-ABC的四個面都是直角三角形；
（2）若PM⊥平面ABC，M是AB邊上中點，則有PA=PB=PC；
（3）若PC=5，P在平面ABC上的射影是△ABC內(nèi)切圓的圓心，則點P到平面ABC是的距離為

23

；
（4）若PC=5，PC⊥平面ABC，則△PCM面積的最小值為

15

2

．
其中正確命題的序號為

 

．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：由已知易得AC⊥BC，（1）由線面垂直可判BC⊥平面PAC，可證△PBC為直角三角形，其它3個是明顯的；
（2）可得可得MA、MB、MC分別為PA、PB、PC在平面ABC內(nèi)的攝影線段，易判相等；
（3）由等面積可求得內(nèi)切圓的半徑r=1，由勾股定理可得點P到平面ABC是的距離d=2

6

；
（4）當CM取最小值時，△PCM面積取最小值，由等面積可求得CM=

12

5

，可得△PCM面積S=6

解答： 解：∵△ABC的三邊分別為AB=5，BC=4，AC=3，
∴BC²+AC²=AB²，∴∠ACB=90°，即AC⊥BC，
（1）若PA⊥平面ABC，易得△ABC，△PAB，△PAC均為直角三角形，
對于△PBC，由PA⊥平面ABC可得PA⊥BC，又AC⊥BC，故BC⊥平面PAC，
可得BC⊥PC，故△PBC也為直角三角形，
∴三棱錐P-ABC的四個面都是直角三角形，故正確；
（2）若M是AB邊上中點，則有MA=MB=MC，
再由PM⊥平面ABC可得MA、MB、MC分別為PA、PB、PC在平面ABC內(nèi)的攝影線段，
∵必有PA=PB=PC，故正確；
（3）若PC=5，P在平面ABC上的射影是△ABC內(nèi)切圓的圓心，
則點P到平面ABC是的距離d與內(nèi)切圓半徑r滿足d²+r²=PC²，
由等面積可得

1

2

×3×4=

1

2

r（3+4+5），解得r=1
∴點P到平面ABC是的距離d=

52-12

=2

6

，不是

23

，故錯誤；
（4）若PC=5，PC⊥平面ABC，則當CM取最小值時，△PCM面積取最小值，
而當CM⊥AB時，CM取最小值，由等面積可得

1

2

×5×CM=

1

2

×3×4，
解得CM=

12

5

，此時△PCM面積S=

1

2

×5×

12

5

=6，不是

15

2

，故錯誤．
故答案為：（1）（2）

點評：本題考查空間線面位置關(guān)系，涉及線面垂直和射影以及等積法，屬中檔題．