已知函數(shù),f(x)=
bx+c
ax2+1
(a,c∈R,a>0,b是自然數(shù))是奇函數(shù),f(x)有最大值
1
2
,且.f(1)>
2
5

(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)是否存在直線l與y=f(x)的圖象交于P、Q兩點(diǎn),并且使得P、Q兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱,若存在,求出直線l的方程,若不存在,說明理由.
分析:(1)由f(x)為奇函數(shù)可知f(-x)+f(x)=0,求得c=0; 依題意可知f(x)的最大值
1
2
必在x>0時(shí)取得,利用基本不等式可求得f(x)≤得
b
2
a
=
1
2
,
于是a=b2,最后由
1
2
<b<2又a>0,b是自然數(shù)可得a=b=1.
(2)假設(shè)存在,設(shè)出P(x0,y0),得出Q點(diǎn)坐標(biāo),列出方程組求出x0和y0,即可得出答案.
解答:解:(1)由f(x)為奇函數(shù)得f(-x)+f(x)=0,即
bx+c
ax2+1
+
-bx+c
ax2+1
=0

∴c=0.
 又a>0,b是自然數(shù),
∴當(dāng)x<0時(shí),f(x)<0,
 當(dāng)x>0時(shí),f(x)>0,
故f(x)的最大值
1
2
必在x>0時(shí)取得;
當(dāng)x>0時(shí),f(x)=
bx
ax2+1
=
b
ax+
1
x
b
2
a

當(dāng)且僅當(dāng)ax=
1
x
,即x=
1
a
時(shí)取得
b
2
a
=
1
2
,即a=b2
又f(1)>
2
5

∴2b2-5b+2<0,即(2b-1)(b-2)<0,
1
2
<b<2又a>0,b是自然數(shù)可得a=b=1,
∴f(x)=
x
x2+1

(2)假設(shè)存在直線l與y=f(x)的圖象交于P、Q兩點(diǎn),并且使得P、Q兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱,
設(shè)P(x0,y0)則Q(2-x0,-y0)所以
x0
x02+1
=y0
2-x0
(2-x0)2+1
=-y0
消去y0,得x02-2x0-1=0
解得:x0=1±
2
,所以P點(diǎn)坐標(biāo)為(1+
2
,
2
4
)或(1-
2
,-
2
4
),故對(duì)應(yīng)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(1-
2
,-
2
4
)或(1+
2
2
4

故過于P、Q兩點(diǎn)的直線方程為:x-4y-1=0
點(diǎn)評(píng):本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì),考查基本不等式的應(yīng)用,由基本不等式結(jié)合題意得到a=b2是關(guān)鍵,考查分析、轉(zhuǎn)化與運(yùn)算能力,屬于中檔題.
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已知函數(shù)y=f(x)的反函數(shù).定義:若對(duì)給定的實(shí)數(shù)a(a≠0),函數(shù)y=f(x+a)與y=f-1(x+a)互為反函數(shù),則稱y=f(x)滿足“a和性質(zhì)”;若函數(shù)y=f(ax)與y=f-1(ax)互為反函數(shù),則稱y=f(x)滿足“a積性質(zhì)”.
(1)判斷函數(shù)g(x)=x2+1(x>0)是否滿足“1和性質(zhì)”,并說明理由;
(2)求所有滿足“2和性質(zhì)”的一次函數(shù);
(3)設(shè)函數(shù)y=f(x)(x>0)對(duì)任何a>0,滿足“a積性質(zhì)”.求y=f(x)的表達(dá)式.

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17、已知函數(shù)y=f(x)和y=g(x)在[-2,2]的圖象如圖所示,則方程f[g(x)]=0有且僅有
6
個(gè)根;方程f[f(x)]=0有且僅有
5
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(2012•上海)已知函數(shù)y=f(x)的圖象是折線段ABC,其中A(0,0)、B(
1
2
,5)、C(1,0),函數(shù)y=xf(x)(0≤x≤1)的圖象與x軸圍成的圖形的面積為
5
4
5
4

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已知函數(shù)y=f(x),x∈R,有下列4個(gè)命題:
①若f(1+2x)=f(1-2x),則y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱;
②y=f(x-2)與y=f(2-x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱;
③若y=f(x)為偶函數(shù),且y=f(2+x)=-f(x),則y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱;
④若y=f(x)為奇函數(shù),且f(x)=f(-x-2),則y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱.
其中正確命題的個(gè)數(shù)為( 。

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-3
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