Question

3．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知cos（B-C）=1-cosA，且b，a，c成等比數(shù)列，求：
（1）sinB•sinC的值；
（2）A；
（3）tanB+tanC的值．

Answer 1

分析 （1）利用三角形內角和定理及兩角和的余弦函數(shù)公式化簡cos（B-C）=1-cosA即可求得sinBsinC的值．
（2）由等比數(shù)列的性質可得a²=bc，由正弦定理得sin²A=sinBsinC，由（1）解得sin²A=$\frac{1}{2}$，結合范圍A∈（0，π），a邊不是最大邊，即可解得A的值．
（3）由B+C=π-A=$\frac{3π}{4}$，可得cos（B+C）=cosBcosC-sinBsinC=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得cosBcosC的值，利用同角三角函數(shù)基本關系式及兩角和的正弦函數(shù)公式化簡所求后計算即可得解．

解答 （本題滿分為14分）
解：（1）∵cos（B-C）=1-cosA=1+cos（B+C），
∴cosBcosC+sinBsinC=1+cosBcosC-sinBsinC，
∴sinBsinC=$\frac{1}{2}$．…2分
（2）∵b，a，c成等比數(shù)列，∴a²=bc，
由正弦定理，可得sin²A=sinBsinC，
從而sin²A=$\frac{1}{2}$，
因為A∈（0，π），所以sinA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又因為a邊不是最大邊，所以A=$\frac{π}{4}$…8分
（3）因為B+C=π-A=$\frac{3π}{4}$，
所以cos（B+C）=cosBcosC-sinBsinC=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
從而cosBcosC=$\frac{1-\sqrt{2}}{2}$，…10分
所以tanB+tanC=$\frac{sinB}{cosB}+\frac{sinC}{cosC}$=$\frac{sin（B+C）}{cosBcosC}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1-\sqrt{2}}{2}}$=-2-$\sqrt{2}$…14分

點評 本題主要考查了三角形內角和定理及兩角和的余弦函數(shù)公式，等比數(shù)列的性質，正弦定理，同角三角函數(shù)基本關系式及兩角和的正弦函數(shù)公式在解三角形中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題．