Question

立體幾何中經(jīng)常會(huì)遇到求截面面積的問(wèn)題，而準(zhǔn)確得出截面的形狀經(jīng)常是解題的關(guān)鍵，這就往往需要對(duì)問(wèn)題進(jìn)行討論．對(duì)于底面邊長(zhǎng)為2 cm的正三棱柱ABC－A₁B₁C₁，其高為h cm．過(guò)AB作一個(gè)截面，截面與底面成60°角．試就h的不同取值討論截面的面積．

Answer 1

答案：
解析：

不妨設(shè)截面與側(cè)棱CC1(或其延長(zhǎng)線)交于點(diǎn)E，取AB的中點(diǎn)D，連結(jié)ED、CD，則在△CDE中，CD＝cm，∠EDC＝60°，∠DCE＝90°，則EC＝3 cm． 　　(1)當(dāng)h≥3 cm時(shí)，點(diǎn)E在側(cè)棱CC1上(如圖1所示)，可求得截面面積為定值 cm2． 　　(2)當(dāng)h＜3 cm時(shí)，點(diǎn)E在側(cè)棱CC1的延長(zhǎng)線上，截面ABGH為等腰梯形(如圖2所示)，則面積為cm2．

提示：

截面是幾何截面的簡(jiǎn)稱，工程上稱為“剖面”，用一個(gè)平面和物體相交所得到的平面圖形叫做截面．截面問(wèn)題經(jīng)常涉及到立體幾何中的作圖和計(jì)算兩個(gè)方面．需要指出的是空間圖形的作圖都必須在平面中才能實(shí)現(xiàn)，因而，正確地作出符合要求的輔助平面就成了求截面問(wèn)題的關(guān)鍵． 　　截面與底面所成的角是定角，由于棱柱的高為變量，因此截面可能是一個(gè)等腰三角形，也可能是一個(gè)等腰梯形，所以截面與下底面及側(cè)面所圍成的幾何體可能是三棱錐或者三棱臺(tái)．因此，解題時(shí)必須進(jìn)行分類(lèi)討論．