Question

已知數列{a_n}滿足a_n-2a_n-1-2^n-1=0，（n∈N^*，n≥2），a₁=1．
（1）求證：數列是等差數列；
（2）若S_n=a₁+a₂+…+a_n，且S_n+2ⁿ＞100恒成立，求n的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由a_n-2a_n-1-2^n-1=0，知，由此能夠證明是等差數列．
（2）由（1）知，所以a_n=n•2^n-1，所以S_n=1•2°+2•2¹+3•2²+…+n•2^n-1，由錯位相減法能求出S_n=（n-1）•2ⁿ+1，由此能求出n的最小值．
解答：解：（1）a_n-2a_n-1-2^n-1=0，
∴，
∴是以為首項，為公差的等差數列．       （4分）
（2）由（1）：，
∴a_n=n•2^n-1（6分）
∴S_n=1•2°+2•2¹+3•2²+…+n•2^n-1①
則2S_n=1•2¹+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ②
①-②，得-S_n=1+2¹+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ
=
=2ⁿ-1-n•2ⁿ，
∴S_n=（n-1）•2ⁿ+1（9分）
由S_n+2ⁿ＞100，
即（n-1）•2ⁿ+1+2ⁿ＞100恒成立，
得n•2ⁿ+1＞100恒成立，
∵{n•2ⁿ}是單增數列，且4•2⁴+1=65，5•2⁵+1=161，
∴n_min=5（12分）
點評：本題考查數列與不等式的綜合應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．數列的性質和應用，對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．