解:(1)在三角形ABC中,EF是中位線,所以EF∥AB
EF屬于平面DEF里,且直線AB不屬于平面DEF,
∴AB∥平面DEF
(2)過D作DH垂直AC于H,連接HB
BD垂直于AD,BD垂直于CD,
又因為AD和CD相交于點D,
∴所以BD垂直于平面ACD
AC屬于平面ACD,所以BD垂直于AC
又因為DH垂直于AC
所以∠BDH是B-AC-D的二面角
在三角形BDH里,∠BDH是直角(因為BD垂直于平面ACD,所以BD垂直于DH)
BD=1
DH=AD•sin60°=
tan∠BHD=
=
cos∠BHD=
(3)求三棱錐C-DEF的體積
過點E作FK垂直CD于K,
在三角形BCD中,FK是中位線,FK∥BD,且FK=
BD=
又BD垂直于平面ACD,可知FK垂直于平面ACD
即FK垂直于平面ECD
所以FK是三棱錐C-DEF的高
S
△CED=
V
C-DEF=
又∵S
△DEF=
∴點C到面DEF的距離為
分析:(1)由已知中E、F分別為AC、BC中點,由三角形中位線定理可得EF∥AB,由線面平行的判定定理可得AB∥平面DEF
(2)過D作DH垂直AC于H,連接HB,根據二面角的平面角可得∠BDH是B-AC-D的二面角的平面角,解三角形BDH,即可得到二面角B-AC-D的余弦值
(3)過點E作FK垂直CD于K,可證得FK是三棱錐C-DEF的高,由此我們計算出三棱錐C-DEF的體積,和S
△DEF利用等體積法,即可得到點C到面DEF的距離.
點評:本題考查的知識點是二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定,點到平面的距離,其中(1)的關鍵是證得EF∥AB,(2)的關鍵是證得∠BDH是B-AC-D的二面角的平面角,(3)的關鍵是利用等體積法進行解答.