Question

如圖，已知橢圓，是長軸的左、右端點(diǎn)，動點(diǎn)滿足，聯(lián)結(jié)，交橢圓于點(diǎn)．

（1）當(dāng)，時，設(shè)，求的值；

（2）若為常數(shù)，探究滿足的條件？并說明理由；

（3）直接寫出為常數(shù)的一個不同于（2）結(jié)論類型的幾何條件．

 

Answer 1

【答案】

（1）4

（2）時，為常數(shù)．

（3）“設(shè)為橢圓的焦點(diǎn)，為短軸的頂點(diǎn)，當(dāng)為等腰三角形時，為常數(shù)或．

【解析】

試題分析：解 （1）直線，解方程組 ，得．

所以．     …5分

（2）設(shè)，，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013081812345247786112/SYS201308181236201274823535_DA.files/image014.png">三點(diǎn)共線，于是，即．   7分

又，即．      9分

所以

．

所以當(dāng)時，為常數(shù)．    14分

另解 設(shè)，解方程組 得．

要使為定值，有，即．（相應(yīng)給分）

（3）若考生給出“設(shè)為橢圓的焦點(diǎn)，為短軸的頂點(diǎn)，當(dāng)為等腰三角形時，為常數(shù)或．”       16分

若考生給出“當(dāng)時，為常數(shù)或．”  18分

（ 注：本小題分層評分）

考點(diǎn)：直線與橢圓的位置關(guān)系

點(diǎn)評：主要是考查了直線與橢圓的位置關(guān)系的運(yùn)用，屬于中檔題。