Question

某電視生產(chǎn)企業(yè)有A、B兩種型號(hào)的電視機(jī)參加家電下鄉(xiāng)活動(dòng)，若企業(yè)投放A、B兩種型號(hào)電視機(jī)的價(jià)值分別為a、b萬元，則農(nóng)民購買電視機(jī)獲得的補(bǔ)貼分別為a，mln（b+1）萬元（m＞0且為常數(shù)）．已知該企業(yè)投放總價(jià)值為10萬元的A、B兩種型號(hào)的電視機(jī)，且A、B兩種型號(hào)的投放金額都不低于1萬元．
（1）請(qǐng)你選擇自變量，將這次活動(dòng)中農(nóng)民得到的總補(bǔ)貼表示為它的函數(shù)，并求其定義域；
（2）求當(dāng)投放B型電視機(jī)的金額為多少萬元時(shí)，農(nóng)民得到的總補(bǔ)貼最大？

Answer 1

【答案】分析：（1）先設(shè)投放B型電視機(jī)的金額的x萬元，則投放A型電視機(jī)的金額為（10-x）萬元，即可得到農(nóng)民得到的總補(bǔ)貼的函數(shù)解析式；
（2）對(duì)于（1）中求得的函數(shù)，可利用導(dǎo)數(shù)研究分段其單調(diào)性，從而求得其最大值，最終即可解決當(dāng)投放B型電視機(jī)的金額為多少萬元時(shí)，農(nóng)民得到的總補(bǔ)貼最大問題．
解答：解：（1）設(shè)投放B型電視機(jī)的金額的x萬元，則投放A型電視機(jī)的金額為（10-x）萬元，
農(nóng)民得到的總補(bǔ)貼
（2），令y′=0得x=10m-1
1°若10m-1≤1即0＜m≤，則f（x）在[1，9]為減函數(shù)，當(dāng)x=1時(shí)，f（x）有最大值；
2°若1＜10m-1＜9即，則f（x）在[1，10m-1]是增函數(shù)在[10m-1，9]是減函數(shù)，當(dāng)x=10m-1時(shí)，f（x）有最大值；
3°若10m-1≥9即m≥1，則f（x）在[1，9]是增函數(shù)，當(dāng)x=9時(shí)，f（x）有最大值．
因此，當(dāng)0＜m≤時(shí)，投放B型電視機(jī)1萬元；當(dāng)時(shí)，投放B型電視機(jī)（10m-1）萬元，當(dāng)m≥1時(shí)，投放B型電視機(jī)9萬元．農(nóng)民得到的總補(bǔ)貼最大．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的最值，考查運(yùn)算求解能力，分類討論思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．