【題目】已知函數(shù)f(x)=x2+2x|x﹣a|,其中a∈R.
(1)當a=﹣1時,在所給坐標系中作出f(x)的圖象;
(2)對任意x∈[1,2],函數(shù)g(x)=﹣x+14的圖象恒在函數(shù)f(x)圖象的上方,求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】
(1)解:當a=﹣1時,作出函數(shù)f(x)=x2+2x|x﹣a|=x2+2x|x+1|= 的圖象,
如圖所示:
(2)解:由題意,對任意x∈[1,2],f(x)<g(x),
即f(x)+x<14恒成立,
只需[f(x)+x)]max<14.
另一方面,f(x)= .
當a≥0時,f(x)在(﹣∞,a)和(a,+∞)上均遞增,∵f(a)=a2,則f(x)在R上遞增,
當a<0時,f(x)在(﹣∞,a)和( ,+∞)上遞增,在(a, )上遞減,
故f(x)在x∈[1,2]上恒單調(diào)遞增,從而y=f(x)+x在x∈[1,2]上也恒單調(diào)遞增,
則[f(x)+x]max=f(2)+2=4+4|2﹣a|+2<14,即|2﹣a|<2,解得0<a<4,
故實數(shù)a的取值范圍是(0,4)
【解析】(1)當a=﹣1時,作出函數(shù)f(x)=x2+2x|x+1|= 的圖象.(Ⅱ)由題意,對任意x∈[1,2],只需[f(x)+x]max<14.分類討論求得[f(x)+x]max , 可得實數(shù)a的取值范圍.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,棱長為a的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,點M,N,E分別是棱A1B1 , A1D1 , C1D1的中點.
(1)過AM作一平面,使其與平面END平行(只寫作法,不需要證明);
(2)在如圖的空間直角坐標系中,求直線AM與平面BMND所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知A=B=R,x∈A,y∈B,f:x→y=ax+b是從A到B的映射,若1和8的原象分別是3和10,則5在f下的象是( )
A.3
B.4
C.5
D.6
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設函數(shù).
(1)當時,求的單調(diào)區(qū)間;
(2)若的圖象與軸交于兩點,起,求的取值范圍;
(3)令, ,證明: .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知過原點的動直線l與圓C1:x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的兩點A,B.
(1)求圓C1的圓心坐標;
(2)求線段AB 的中點M的軌跡C的方程;
(3)是否存在實數(shù) k,使得直線L:y=k(x﹣4)與曲線 C只有一個交點?若存在,求出k的取值范圍;若不存在,說明理由.
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【題目】關于下列命題,正確的個數(shù)是( )
①若點(2,1)在圓x2+y2+kx+2y+k2﹣15=0外,則k>2或k<﹣4
②已知圓M:(x+cosθ)2+(y﹣sinθ)2=1,直線y=kx,則直線與圓恒相切
③已知點P是直線2x+y+4=0上一動點,PA、PB是圓C:x2+y2﹣2y=0的兩條切線,A、B是切點,則四邊形PACB的最小面積是為2
④設直線系M:xcosθ+ysinθ=2+2cosθ,M中的直線所能圍成的正三角形面積都等于12 .
A.1
B.2
C.3
D.4
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】從某居民區(qū)隨機抽取10個家庭,獲得第i個家庭的月收入xi(單位:千元)與月儲蓄yi(單位:千元)的數(shù)據(jù)資料,算得 , , , .
(Ⅰ)求家庭的月儲蓄y對月收入x的線性回歸方程y=bx+a;
(Ⅱ)判斷變量x與y之間是正相關還是負相關;
(Ⅲ)若該居民區(qū)某家庭月收入為7千元,預測該家庭的月儲蓄.
附:線性回歸方程y=bx+a中, , ,其中 , 為樣本平均值,線性回歸方程也可寫為 .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)為實常數(shù).
(1)設,當時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當時,直線、與函數(shù)的圖象一共有四個不同的交點,且以此四點為頂點的四邊形恰為平行四邊形.求證: .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】給出下列命題:
1)已知兩平面的法向量分別為 =(0,1,0), =(0,1,1),則兩平面所成的二面角為45°或135°;
2)若曲線 + =1表示雙曲線,則實數(shù)k的取值范圍是(﹣∞,﹣4)∪(1,+∞);
3)已知雙曲線方程為x2﹣ =1,則過點P(1,1)可以作一條直線l與雙曲線交于A,B兩點,使點P是線段AB的中點.
其中正確命題的序號是 .
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