【題目】如圖,設(shè)橢圓的中心為原點,長軸在軸上,上頂點為,左右焦點分別為,線段,的中點分別為,且是面積為4的直角三角形,過作直線交橢圓于兩點,使,則直線的斜率為______.

【答案】

【解析】

由題意設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,結(jié)合已知列式求出橢圓方程,再設(shè)出直線的方程,聯(lián)立直線方程和橢圓方程,化為關(guān)于的一元二次方程,由根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合向量數(shù)量積為0列式求得值,則直線方程可求.

設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,右焦點為

是直角三角形,又,為直角,

因此,得

結(jié)合,得,故,離心率

中,,故

由題設(shè)條件△的面積為4,得,從而

因此所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:

,

由題意知直線的傾斜角不為0,故可設(shè)直線的方程為:

代入橢圓方程得

設(shè),,,則

,得,

,解得

所以直線的斜率為.

故答案為:

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