已知函數(shù)f（x）=ln（1+x）+a（x+1）2（a＜0且a為常數(shù)）在x=1處有極大值．
（Ⅰ）試確定實數(shù)a的值；
（Ⅱ）判斷方程f（x）=0在區(qū)間（0，3）內(nèi)實數(shù)根的個數(shù)并說明理由．

解：（Ⅰ）∵f′（x）=+2a（x+1），又f（x）在x=1處有極大值，
∴f′（1）=+4a=0，
∴a=．此時，f（x）=ln（1+x）-（x+1）2，
f′（x）=-
=
=-，
-1＜x＜1時，f'（x）＞0，x＞1時，f'（x）＜0，
∴f（x）在（-1，1）上為增函數(shù)，在（1，+∞）上為減函數(shù)，
∴f（x）在x=1處有極大值，故a=．…（6分）
（Ⅱ）由（1）可知，函數(shù)f（x）在（0，1）上為增函數(shù)，在（1，3）上為減函數(shù)，
且f（0）=-＜0，f（1）=ln2-＞0，f（3）=ln4-2＜0，，
所以方程f（x）=0在區(qū)間（0，3）內(nèi)實數(shù)根有兩個…（12分）
分析：（Ⅰ）依題意，f′（1）=+4a=0，可求得a=，再利用極大值的條件去驗證“在x=1處有極大值”；
（Ⅱ）由（1）可知，函數(shù)f（x）在（0，1）上為增函數(shù)，在（1，3）上為減函數(shù)，求得f（0），f（1），f（3）的值，利用零點存在定理即可判斷方程f（x）=0在區(qū)間（0，3）內(nèi)實數(shù)根的個數(shù)．
點評：本題考查函數(shù)在某點取得極值的條件，考查根的存在性及根的個數(shù)判斷，考查分析，轉(zhuǎn)化及運算能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

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已知函數(shù)f（x）=2x-2+ae-x（a∈R）
（1）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，求a的值；
（2）當a=1時，若直線l：y=kx-2與曲線y=f（x）在（-∞，0）上有公共點，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+2|lnx-1|．
（1）求函數(shù)y=f（x）的最小值；
（2）證明：對任意x∈[1，+∞），lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立；
（3）對于函數(shù)f（x）圖象上的不同兩點A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），如果在函數(shù)f（x）圖象上存在點M（x0，y0）（其中x0∈（x1，x2））使得點M處的切線l∥AB，則稱直線AB存在“伴侶切線”．特別地，當x0=
x1+x2
2
時，又稱直線AB存在“中值伴侶切線”．試問：當x≥e時，對于函數(shù)f（x）圖象上不同兩點A、B，直線AB是否存在“中值伴侶切線”？證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線x+3y-1=0垂直，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項和為Sn，則S2012的值為（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=xlnx
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值點；
（Ⅱ）若直線l過點（0，-1），并且與曲線y=f（x）相切，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
，a≠0且a≠1．
（1）試就實數(shù)a的不同取值，寫出該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）已知當x＞0時，函數(shù)在（0，
6
）上單調(diào)遞減，在（
6
，+∞）上單調(diào)遞增，求a的值并寫出函數(shù)的解析式；
（3）記（2）中的函數(shù)圖象為曲線C，試問是否存在經(jīng)過原點的直線l，使得l為曲線C的對稱軸？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

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