Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=2，a₂=8，a₃=24，{a_n+1-2a_n}為等比數(shù)列．
（1）求證：{

an

2n

}是等差數(shù)列
（2）求

1

Sn

的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì),等差關(guān)系的確定

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用a₁=2，a₂=8，a₃=24，{a_n+1-2a_n}為等比數(shù)列，可得a_n+1-2a_n=4×2^n-1=2ⁿ⁺¹，從而

an+1

2n+1

-

an

2n

=1，即可證明結(jié)論；
（2）由于數(shù)列的通項(xiàng)是一個等差數(shù)列與等比數(shù)列的積構(gòu)成的新數(shù)列，利用錯位相減法求出數(shù)列的和即可．

解答： （1）證明：∵{a_n+1-2a_n}為等比數(shù)列，a₁=2，a₂=8，a₃=24，
∴a₃-2a₂=2（a₂-2a₁），即{a_n+1-2a_n}為2，
∴a_n+1-2a_n=4×2^n-1=2ⁿ⁺¹，
∴

an+1

2n+1

-

an

2n

=1，
∴{

an

2n

}是等差數(shù)列．

（2）解：由（1）知，

an

2n

=1+（n-1）=n
∴a_n=n•2ⁿ，
∴S_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ
∴2S_n=1×2²+2×2³+3×2⁴…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹
兩式相減得-S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=

2-2n+1

1-2

-n•2ⁿ⁺¹
=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2
∴S_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2，
∴

1

Sn

=

1

(n-1)•2n+1+2

∈（0，

1

2

]．

點(diǎn)評：求數(shù)列的前n項(xiàng)和一般先求出通項(xiàng)，根據(jù)通項(xiàng)的特點(diǎn)選擇合適的求和方法，常用的求和方法有：公式法、倒序相加法、錯位相減法、裂項(xiàng)相消法、分組法．