Question

一種拋硬幣游戲的規(guī)則是：拋擲一枚硬幣，每次正面向上得1分，反面向上得2分．
（1）設(shè)拋擲5次的得分為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ；
（2）求恰好得到n（n∈N^*）分的概率．

Answer 1

分析：（1）由題意分析的所拋5次得分ξ為獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，利用二項(xiàng)分布可以得此變量的分布列；
（2）由題意分析出令p_n表示恰好得到n分的概率．不出現(xiàn)n分的唯一情況是得到n-（1分）以后再擲出一次反面．“不出現(xiàn)n分”的概率是1-p_n，“恰好得到n-（1分）”的概率是p_n-1，利用題意分析出遞推關(guān)系即可．

解答：解：（1）所拋5次得分ξ的概率為P（ξ=i）=

C

i-5 5

(

1

2

)5（i=5，6，7，8，9，10），
其分布列如下：

ξ	5	6	7	8	9	10
P	1 32	5 32	5 16	5 16	5 32	1 32

Eξ=

10

i=5

i•

C

i-5 5

(

1

2

)5=

15

2

（分）．
（2）令p_n表示恰好得到n分的概率．不出現(xiàn)n分的唯一情況是得到n-（1分）以后再擲出一次反面．
   因?yàn)椤安怀霈F(xiàn)n分”的概率是1-p_n，“恰好得到n-（1分）”的概率是p_n-1，
因?yàn)椤皵S一次出現(xiàn)反面”的概率是

1

2

，所以有1-p_n=

1

2

p_n-1，
即p_n-

2

3

=-

1

2

(pn-1-

2

3

)．
于是{pn-

2

3

}是以p₁-

2

3

=

1

2

-

2

3

=-

1

6

為首項(xiàng)，以-

1

2

為公比的等比數(shù)列．
所以p_n-

2

3

=-

1

6

(-

1

2

)n-1，即p_n=

1

3

[2+(-

1

2

)n]．
答：恰好得到n分的概率是

1

3

[2+(-

1

2

)n]．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，數(shù)列的遞推關(guān)系求解通項(xiàng)，重點(diǎn)考查了學(xué)生的題意理解能力及計(jì)算能力．