Question

8、設(shè)三棱錐P-ABC的頂點(diǎn)P在平面ABC上的射影是H，給出以下命題：
①若PA⊥BC，PB⊥AC，則H是△ABC的垂心；
②若PA，PB，PC兩兩互相垂直，則H是△ABC的垂心；
③若∠ABC=90°，H是AC的中點(diǎn)，則PA=PB=PC；
④若PA=PB=PC，則H是△ABC的外心，其中正確命題的命題是

①②③④

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意畫出圖形，然后對(duì)應(yīng)選項(xiàng)一一判定即可．

解答：解：①若PA⊥BC，PB⊥AC，因?yàn)镻H⊥底面ABC，所以AH⊥BC，同理BH⊥AC，可得H是△ABC的垂心，正確．
②若PA，PB，PC兩兩互相垂直，容易推出AH⊥BC，同理BH⊥AC，可得H是△ABC的垂心，正確．
③若∠ABC=90°，H是AC的中點(diǎn)，容易推出△PHA≌△PHB≌△PHC，則PA=PB=PC；正確．
設(shè)三棱錐P-ABC的頂點(diǎn)P在平面ABC上的射影是H，給出以下命題：
①若PA⊥BC，PB⊥AC，則H是△ABC的垂心；
②若PA，PB，PC兩兩互相垂直，則H是△ABC的垂心；
③若∠ABC=90°，H是AC的中點(diǎn)，則PA=PB=PC；
④若PA=PB=PC，易得AH=BH=CH，則H是△ABC的外心，正確．
故答案為：①②③④

點(diǎn)評(píng)：本題考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征，考查學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，三垂線定理的應(yīng)用，是中檔題．