Question

已知曲線(xiàn)C：，直線(xiàn)l：y=x，在曲線(xiàn)C上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P分別作直線(xiàn)l和y軸的垂線(xiàn)，垂足分別為A，B．再過(guò)點(diǎn)P作曲線(xiàn)C的切線(xiàn)，分別與直線(xiàn)l和y軸相交于點(diǎn)M，N，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．若△ABP的面積為，則△OMN的面積為_(kāi)_______．

Answer 1

4
分析：由題意易得B的坐標(biāo)，寫(xiě)出垂線(xiàn)的方程聯(lián)立y=x可得A坐標(biāo)，進(jìn)而可得△ABP的面積，可求a，然后可寫(xiě)出切線(xiàn)的方程，進(jìn)而可得M、N的坐標(biāo)，可表示出△OMN的面積，代入a值可得答案．
解答：由題意設(shè)點(diǎn)P（x₀，），則B（0，），
又與直線(xiàn)l垂直的直線(xiàn)向斜率為-1，故方程為y-（）=-（x-x₀）
和方程y=x聯(lián)立可得x=y=，故點(diǎn)A（，），
故△ABP的面積S=
===，解得a=2，
又因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/8303.png' />，所以，故切線(xiàn)率為，
故切線(xiàn)的方程為y-（）=（）（x-x₀），
令x=0，可得y=，故點(diǎn)N（0，），
聯(lián)立方程y=x可解得x=y=2x₀，即點(diǎn)M（2x₀，2x₀），
故△OMN的面積為=2a=4，
故答案為：4
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程，涉及三角形的面積和方程組的求解，屬中檔題．