Question

如圖，多面體EF-ABCD中，ABCD是梯形，AB∥CD，ACFE是矩形，面ACFE⊥面ABCD，AD=DC=CB=AE=a，∠ACB=

π

2

．
（1）若M是棱EF上一點，AM∥平面BDF，求EM；
（2）求二面角B-EF-D的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）連接BD，記AC∩BD=O，在梯形ABCD中，由題意得∠ACD=∠CAB=∠DAC，由角之間的關(guān)系可得∠DAC=

π

6

，從而∠CBO=

π

6

，又∠ACB=

π

2

，CB=a，所以CO=

3

3

a，由AM∥平面BDF得AM∥FO．
（2）建立空間直角坐標系，利用向量的運算求出平面DEF的一個法向量為

n1

=(0.2．-1)，平面BEF的一個法向量為

n2

=(0.1.1)，進而由兩個法向量求出二面角余弦值的大�。�

解答：解（1）連接BD，記AC∩BD=O，在梯形ABCD中，
因為AD=DC=CB=a，AB∥CD，
所以∠ACD=∠CAB=∠DAC，
π=∠ABC+∠BCD=∠DAB+∠ACD+ACB=3∠DAC+

π

2

，∠DAC=

π

6

，從而∠CBO=

π

6

，
又因為∠ACB=

π

2

，CB=a，所以CO=

3

3

a，
連接FO，由AM∥平面BDF得AM∥FO，
因為ACFE是矩形，所以EM=CO=

3 a

3

．
（2）以C為原點，CA、CB、CF分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，
則C（0，0，0），A(

3

a，0，0)，B（0，a，0），D(

3

2

a，-

a

2

，0)，F(xiàn)（0，0，a），E(

3

a，0，a)，
設(shè)平面DEF的一個法向量為

n1

=(r．s．t)，
則有

n1 • EF =0 n1 • DF =0

，即

3 a×r=0 - 3 2 a×r+ a 2 ×s+a×t=0

，
解得

n1

=(0.2．-1)，
同理可得平面BEF的一個法向量為

n2

=(0.1.1)，
觀察知二面角B-EF-D的平面角為銳角，所以其余弦值為cosθ=

| n1 • n2 |

| n1 || n2 |

=

10

10

．

點評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟悉幾何體的結(jié)構(gòu)特征，進而便于幾何體的線面關(guān)系以及建立坐標系利用向量解決空間角與空間距離的問題