Question

已知函數(shù)f(x)=lnx-

a

x

(a∈R)．
（1）判斷f（x）在定義域上的單調(diào)性；
（2）若f（x）在[1，e]上的最小值為2，求a的值．

Answer 1

（1）由題意得f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），．（0，+∞）
①當(dāng)a≥0時(shí)，f'（x）＞0，故f（x）在上為增函數(shù)；
②當(dāng)a＜0時(shí)，由f'（x）=0得x=-a；由f'（x）＞0得x＞-a；由f'（x）＜0得x＜-a；
∴f（x）在（0，-a]上為減函數(shù)；在（-a，+∞）上為增函數(shù)．
所以，當(dāng)a≥0時(shí)，f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）在（0，-a]上是減函數(shù)，在（-a，+∞）上是增函數(shù)．
（2）∵f′(x)=

x+a

x2

，x＞0．由（1）可知：
①當(dāng)a≥0時(shí)，f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，f（x）_min=f（1）=-a=2，得a=-2，矛盾!
②當(dāng)0＜-a≤1時(shí)，即a≥-1時(shí)，f（x）在（0，+∞）上也是增函數(shù)，f（x）_min=f（1）=-a=2，∴a=-2（舍去）．
③當(dāng)1＜-a＜e時(shí)，即-e＜a＜-1時(shí)，f（x）在[1，-a]上是減函數(shù)，在（-a，e]上是增函數(shù)，
∴f（x）_min=f（-a）=ln（-a）+1=2，得a=-e（舍去）．
④當(dāng)-a≥e時(shí)，即a≤-e時(shí)，f（x）在[1，e]上是減函數(shù)，有f(x)min=f(e)=1-

a

e

=2，
∴a=-e．
綜上可知：a=-e．