Question

如圖，長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：B₁C⊥平面AED₁；
（Ⅱ）求二面角A-D₁E-C的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）首先建立空間直角坐標(biāo)系，求出相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積，求出平面的法向量，進(jìn)一步利用向量共線求出結(jié)果．
（Ⅱ）先求出平面的法向量，利用法向量的夾角求出結(jié)果．

解答： 證明：（ I）如圖，因?yàn)锳BCD-A₁B₁C₁D₁為長方形，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA為x軸的正半軸，DC為y軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
由題知，A（1，0，0），E（1，1，0），D₁（0，0，1），C（0，2，0），B₁（1，2，1）；所以

B1C

=(-1，0，-1)；
設(shè)平面AED₁的一個(gè)法向量為

n

=(x，y，z)，

AE

=(0，1，0)，

AD1

=(-1，0，1)；
由

n • AE =0 n • AD1 =0

，則

0×x+1×y+0×z=0 -1×x+0×y+1×z=0

，令x=1，求得

n

=(1，0，1)；
∵

n

=-

B1C

，
所以，B₁C⊥平面AED₁成立．
解：（ II） 設(shè)二面角A-D₁E-C的平面角為θ∈[0，π]，
由（ I） 平面AED₁的一個(gè)法向量為

n

=(1，0，1)；
同理：設(shè)

n2

=(x，y，z)
由于E（1，1，0），C（0，2，0），D₁（0，0，1）

EC

=(-1，1，0)，

D1C

=(0，2，-1)

n2 • EC =0 n2 • D1C =0

可求平面D₁EC的一個(gè)法向量為：

n2

=(-1，-1，-2)
∴cosθ=

n • n1

| n || n1 |

=-

3

2

，
所以
所以，所求二面角A-D₁E-C的平面角為：θ=

5π

6

點(diǎn)評：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：線面垂直的判定定理，法向量的應(yīng)用，二面角的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題型．