Question

設點P在曲線y=e^x上，Q在曲線y=lnx上，則|PQ|的最小值為

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

C
分析：考慮到兩曲線關于直線y=x對稱，求丨PQ丨的最小值可轉化為求P到直線y=x的最小距離，再利用導數(shù)的幾何意義，求曲線上斜率為1的切線方程，從而得此距離．
解答：∵曲線y=e^x與曲線y=lnx互為反函數(shù)，其圖象關于y=x對稱，
故可先求點P到直線y=x的最近距離d
設曲線y=e^x上斜率為1的切線為y=x+b，
∵y′=e^x，由e^x=1，得x=0，故切點坐標為（0，1），即b=1
∴d==
∴丨PQ丨的最小值為2d=2×=
故選C．
點評：本題主要考查了互為反函數(shù)的函數(shù)圖象的對稱性，以及導數(shù)的幾何意義，曲線的切線方程的求法，同時考查了化歸的思想方法，屬于中檔題．