Question

已知焦點F在x軸上的拋物線C經(jīng)過定點P（3，2

3

），過F任意做C的弦AB，若弦AB的長不超8，且直線AB與橢圓3x²+2y²=2相交于不同的兩點，求直線AB的傾斜角θ的取值范圍．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：由題意可設(shè)拋物線C的方程為y²=2px，（p＞0），由拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程y²=4x，可得焦點F（1，0）．設(shè)直線l傾斜角為α，以下分類討論：
（i）當(dāng)直線l⊥x軸時，弦長|AB|=2p=4．滿足題意：聯(lián)立②聯(lián)立

x=1 3x2+2y2=2

，無解，因此不滿足條件直線l與橢圓3x²+2y²=2有公共點，故直線l傾斜角α≠

π

2

．
（ii）當(dāng)直線l與x軸不垂直時，設(shè)直線l的方程為y=k（x-1）．（k≠0）．與拋物線的方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系，利用弦長公式|AB|=x₁+x₂+p≤8，得到k的一個范圍；與橢圓的方程聯(lián)立得到△＞0，由得到k的一個范圍，與上面的聯(lián)立即可得出，進(jìn)而得到α的取值范圍．

解答： 解：設(shè)拋物線方程為y²=2px，代入P（3，2

3

），可得p=4，
∴拋物線方程為y²=4x；可得焦點F（1，0）．
設(shè)直線l傾斜角為α，以下分類討論：
（i）當(dāng)直線l⊥x軸時，弦長|AB|=2p=4．滿足：①|(zhì)AB|≤8；
②聯(lián)立

x=1 3x2+2y2=2

，無解，因此不滿足條件直線l與橢圓3x²+2y²=2有不同的公共點，故直線l傾斜角α≠

π

2

．
（ii）當(dāng)直線l與x軸不垂直時，設(shè)直線l的方程為y=k（x-1）．（k≠0）．
聯(lián)立

y=k(x-1) y2=4x

，化為k²x²-（2k²+4）x+k²=0．
∴x1+x2=

2k2+4

k2

，
∴|AB|=x₁+x₂+p=

2k2+4

k2

+2≤8，化為k²≥1．①
聯(lián)立

y=k(x-1) 3x2+2y2=2

，化為（3+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
若直線l與橢圓3x²+2y²=2有兩個不同的交點，則△=16k⁴-4（3+2k²）（2k²-2）＞0，化為k²＜3，②．
聯(lián)立①②可得：1≤k²＜3，解得-

3

＜k≤-1或1≤k＜

3

．
∴

2π

3

＜α≤

3π

4

或

π

4

≤α＜

π

3

．

點評：本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與拋物線橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、△＞0、直線的斜率與傾斜角的關(guān)系等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于難題．