Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y都滿足f（x+y）=f（x）+f（y），且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并證明
（2）解不等式f（a-4）+f（2a+1）＜0．

Answer 1

分析：（1）賦值法：根據(jù)所給恒等式，令x=y=0可得f（0）=0，令y=-x，可得f（-x）與f（x）的關(guān)系，據(jù)奇偶函數(shù)的定義即可判斷；
（2）先用單調(diào)性的定義判斷函數(shù)的單調(diào)性，由奇偶性、單調(diào)性的性質(zhì)可把把不等式中的符號(hào)“f”去掉，從而變?yōu)榫唧w不等式；

解答：解：（1）函數(shù)f（x）為R上的奇函數(shù)，下面證明：
令y=x=0，由f（x+y）=f（x）+f（y），得f（0）=f（0）+f（0），所以f（0）=0，
令y=-x，由f（x+y）=f（x）+f（y），得f（0）=f（x）+f（-x），即0=f（x）+f（-x），
所以f（-x）=-f（x），
又f（x）定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
所以f（x）為奇函數(shù)；
（2）任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，
則f（x₂）-f（x₁）=f[（x₂-x₁）+x₁]-f（x₁）=f（x₂-x₁）+f（x₁）-f（x₁）=f（x₂-x₁），
因?yàn)閤＞0時(shí)，f（x）＞0，且x₂-x₁＞0，
所以f（x₂-x₁）＞0，即f（x₂）-f（x₁）＞0，f（x₂）＞f（x₁），
所以f（x）為R上的增函數(shù)，
f（a-4）+f（2a+1）＜0⇒f（2a+1）＜-f（a-4）=f（4-a），
由f（x）為增函數(shù)得，2a+1＜4-a，解得a＜1．
所以不等式的解集為{a|a＜1}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的判斷及其應(yīng)用，考查抽象不等式的求解，關(guān)于抽象函數(shù)的性質(zhì)問題往往運(yùn)用定義解決，而解決抽象不等式的基本思路是轉(zhuǎn)化為具體不等式求解．