Question

在如圖所示的幾何體中．EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC=BC=BD=2AE=2，M是AB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：CM⊥EM；
（Ⅱ）求直線DE與平面EMC所成角的正切值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）證明面AEDB⊥面ABC，再證明CM⊥AB，利用面面垂直的性質(zhì)可得CM⊥面AEDB，從而可得CM⊥EM
（Ⅱ）證明CM⊥DM，EM⊥MD，從而可得DE與平面EMC所成的角為∠DEM，即可求直線DE與平面EMC所成角的正切值．

解答：（Ⅰ）證明：因?yàn)锳E⊥面ABC，BD⊥面ABC，所以AE∥DB，且面AEDB⊥面ABC，
又因?yàn)锳C⊥BC且AC=BC，所以△ABC是等腰直角三角形，直角為∠ACB，
因?yàn)镸是AB的中點(diǎn)，所以CM⊥AB，
又因?yàn)槊鍭EDB⊥面ABC，面AEDB∩面ABC=AB，所以CM⊥面AEDB
因?yàn)镋M?面AEDB，所以CM⊥EM
（Ⅱ）解：因?yàn)镃M⊥面AEDB，DM?面AEDB，所以CM⊥DM，
因?yàn)镸為AB中點(diǎn)，設(shè)AC=BC=BD=2AE=2a，所以EM=

3

a、MD=

6

a、ED=3a，所以ED²=EM²+MD²，
即△EMD為直角三角形，所以EM⊥MD，
又因?yàn)镃M⊥DM，EM∩CM=M，所以出DM⊥面EMC，則DE與平面EMC所成的角為∠DEM，
所以tan∠DEM=

DM

EM

=

2

．

點(diǎn)評：本題考查線線垂直，考查線面角，解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用面面垂直的性質(zhì)，正確作出線面角，屬于中檔題．