給定橢圓．稱圓心在原點O，半徑為的圓是橢圓C的“準圓”．若橢圓C的一個焦點為，其短軸上的一個端點到F的距離為．
(1)求橢圓C的方程和其“準圓”方程；
(2)點P是橢圓C的“準圓”上的一個動點，過動點P作直線，使得與橢圓C都只有一個交點，試判斷是否垂直？并說明理由．

(1) ； (2) 垂直．

解析試題分析：（1）由“橢圓C的一個焦點為，其短軸上的一個端點到F的距離為”知：從而可得橢圓的標準方程和“準圓”的方程；
（2）分兩種情況討論：①當中有一條直線斜率不存在；②直線斜率都存在．
對于①可直接求出直線的方程并判斷其是不互相垂直；
對于②設經過準圓上點與橢圓只有一個公共點的直線為
與橢圓方程聯(lián)立組成方程組消去得到關于的方程：
由化簡整理得：
而直線的斜率正是方程的兩個根，從而
（1）
橢圓方程為
準圓方程為
（2）①當中有一條無斜率時，不妨設無斜率，
因為與橢圓只有一個共公點，則其方程為
當方程為時，此時與準圓交于點
此時經過點（或）且與橢圓只有一個公共瞇的直線是（或）
即為（或），顯然直線垂直；
同理可證方程為時，直線也垂直．
②當都有斜率時，設點其中
設經過點與橢圓只有一個公共點的直線為
則由消去，得

由化簡整理得：
因為，所以有
設的斜率分別為，因為與橢圓只有一個公共點
所以滿足上述方程
所以，即垂直,
綜合①②知, 垂直．
考點：1、橢圓的標準方程；2、直線與圓錐曲線的綜合問題．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的一個焦點為，且離心率為．
（1）求橢圓方程；
（2）過點且斜率為的直線與橢圓交于兩點，點關于軸的對稱點為，求△面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

(2014·武漢模擬)已知點P是圓M：x2+(y+m)2=8(m>0,m≠)上一動點,點N(0,m)是圓M所在平面內一定點,線段NP的垂直平分線l與直線MP相交于點Q.
(1)當P在圓M上運動時,記動點Q的軌跡為曲線Г,判斷曲線Г為何種曲線,并求出它的標準方程.
(2)過原點斜率為k的直線交曲線Г于A,B兩點,其中A在第一象限,且它在x軸上的射影為點C,直線BC交曲線Г于另一點D,記直線AD的斜率為k′,是否存在m,使得對任意的k>0,都有|k·k′|=1?若存在,求m的值;若不存在,請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設橢圓E：的焦點在x軸上．
(1)若橢圓E的焦距為1，求橢圓E的方程；
(2)設F1、F2分別是橢圓E的左、右焦點，P為橢圓E上第一象限內的點，直線F2P交y軸于點Q，并且F1P⊥F1Q.證明：當a變化時，點P在某定直線上．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，離心率為，右焦點到右頂點的距離為.
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）若直線與橢圓交于兩點，是否存在實數(shù)，使成立？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖所示，離心率為的橢圓上的點到其左焦點的距離的最大值為3，過橢圓內一點的兩條直線分別與橢圓交于點、和、，且滿足，其中為常數(shù)，過點作的平行線交橢圓于、兩點.

（1）求橢圓的方程；
（2）若點，求直線的方程，并證明點平分線段.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓左、右焦點分別為F1、F2，點P（2，），點F2在線段PF1的中垂線上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設直線與橢圓C交于M、N兩點，直線F2M與F2N的斜率互為相反數(shù)，求證：直線l過定點，并求該定點的坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓：的一個焦點為，離心率為．設是橢圓長軸上的一個動點，過點且斜率為的直線交橢圓于，兩點.
（1）求橢圓的方程；
（2）求的最大值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的左右頂點分別為，離心率．
（1）求橢圓的方程；
（2）若點為曲線:上任一點（點不同于），直線與直線交于點，為線段的中點，試判斷直線與曲線的位置關系，并證明你的結論．

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