Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱AA₁⊥底面ABC，AB⊥BC，D為AC的中點(diǎn)，A₁A=AB=2．
（1）求證：AB₁∥平面BC₁D；
（2）若四棱錐B-AA₁C₁D的體積為3，求二面角C-BC₁-D的正切值．

Answer 1

【答案】分析：（1）在平面BC₁D內(nèi)找到一條直線與已知直線AB₁平行，根據(jù)線面平行的判定定理證明線面平行，而找平行的方法一般是找三角形的中位線或找平行四邊形．
（2）根據(jù)題中的垂直關(guān)系表達(dá)出四棱錐的體積進(jìn)而得到等式求出BC的數(shù)值，結(jié)合這題中的線面垂直關(guān)系作出二面角，再證明此角就是所求角然后求出即可．
解答：解：（1）證明：連接B₁C，設(shè)B₁C與BC₁相交于點(diǎn)O，連接OD，
∵四邊形BCC₁B₁是平行四邊形，
∴點(diǎn)O為B₁C的中點(diǎn)．
∵D為AC的中點(diǎn)，
∴OD為△AB₁C的中位線，
∴OD∥AB₁．
∵OD?平面BC₁D，AB₁?平面BC₁D，
∴AB₁∥平面BC₁D．
（2）解：依題意知，AB=BB₁=2，
∵AA₁⊥平面ABC，AA₁?平面AA₁C₁C，
∴平面ABC⊥平面AA₁C₁C，且平面ABC∩平面AA₁C₁C=AC．
作BE⊥AC，垂足為E，則BE⊥平面AA₁C₁C，
設(shè)BC=a，
在Rt△ABC中，，，
∴四棱錐B-AA₁C₁D的體積==a．
依題意得，a=3，即BC=3．
∵AB⊥BC，AB⊥BB₁，BC∩BB₁=B，BC?平面BB₁C₁C，BB₁?平面BB₁C₁C，
∴AB⊥平面BB₁C₁C．
取BC的中點(diǎn)F，連接DF，則DF∥AB，且．
∴DF⊥平面BB₁C₁C．
作FG⊥BC₁，垂足為G，連接DG，
由于DF⊥BC₁，且DF∩FG=F，
∴BC₁⊥平面DFG．
∵DG?平面DFG，
∴BC₁⊥DG．
∴∠DGF為二面角C-BC₁-D的平面角．
由Rt△BGF～Rt△BCC₁，得，
得，
在Rt△DFG中，=．
∴二面角C-BC₁-D的正切值為．
點(diǎn)評(píng)：解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是熟悉幾何體的結(jié)構(gòu)便于利用題中的線面、線線關(guān)系解決空間角、空間距離與幾何體的體積等問(wèn)題．