Question

12．已知函數(shù)f（x）=x³-3x²+（3-3a²）x+b（a≥1，b∈R）．當(dāng)x∈[0，2]時，記|f（x）|的最大值為|f（x）|_max，對任意的a≥1，b∈R，|f（x）|_max≥k恒成立．則實數(shù)k的最大值為（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，分解因式，可得區(qū)間[0，2]為減區(qū)間，可得f（x）的最值，由絕對值不等式的性質(zhì)，結(jié)合二次函數(shù)的最值求法，可得k的范圍，進而得到k的最大值．

解答 解：函數(shù)f（x）=x³-3x²+（3-3a²）x+b的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3x²-6x+3-3a²
=3（x-1+a）（x-1-a），
由a≥1，可得1+a≥2，1-a≤0，
則區(qū)間[0，2]為減區(qū)間，可得f（x）的最小值為f（0）=b，
最大值為f（2）=b+2-6a²，
對任意的a≥1，b∈R，|f（x）|_max≥k恒成立，
可得k≤|b|，k≤|b+2-6a²|，
即為2k≤|b|+|b+2-6a²|，
由|b|+|b+2-6a²|≥|b-b-2+6a²|=|6a²-2|≥4，
可得2k≤4，即k≤2，
則k的最大值為2．
故選：B．

點評 本題考查不等式恒成立問題的解法，注意運用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，考查絕對值不等式的性質(zhì)和化簡整理的運算能力，屬于中檔題．