Question

如圖，在四棱錐P—ABCD中，PA、AB、AD兩兩垂直，且PA=AD，截面ABMN是平行四邊形，M是PC的中點(diǎn)。

　　   （Ⅰ）求證：AB//CD；

　　   （Ⅱ）求證：AN⊥MN；

　　   （Ⅲ）求證：截面ABMN⊥側(cè)面PCD。

 

Answer 1

答案：
解析：

證：（Ⅰ）∵ABCD是平行四邊形，∴AB//MN， 　　　　　　   又∵MN Ì 面PCD，AB Ë 面PCD。 　　       ∴AB∥面PCD 　　　　　　   又∵CD =面PCD∩面ABCD， 　　　　　　   因此AB∥CD 　　   （Ⅱ）∵PA，AB，AD兩兩垂直，∴AB⊥面PAD。 　　　　　　    又∵AB∥MN，∴MN⊥面PAD 　　　　　　   另外AN Ì 面PAD，∴AN⊥MN 　　   （Ⅲ）∵MN∥AB，AB∥CD，∴MN∥CD 　　　　　　　　　　 又已知M是PC中點(diǎn)，∴N是PD中點(diǎn) 　　　　　　      再由已知PA=AD，得AN⊥PD。 　　　　　　   ∵MN∩PD=N，AN⊥MN已證。 　　          ∴AN⊥面PDM，即AN⊥面PCD 　　　　　　   ∵AN Ì 截面ABMN， 　　　　　　    因此，截面ABMN⊥側(cè)面PCD。