Question

如圖，已知正方形ABCD在直線MN的上方，邊BC在直線MN上，E是線段BC上一點，以AE為邊在直線MN的上方作正方形AEFG，其中AE=2，記∠FEN=α，△EFC的面積為S．
（Ⅰ）求S與α之間的函數(shù)關(guān)系；
（Ⅱ）當(dāng)角α取何值時S最大？并求S的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）觀察圖形知，EF=2，∠EAB=∠FEH=α，可將EC用α表示出來，再由三角形的面積公式

1

2

absinC建立S與α之間的函數(shù)關(guān)系；
（Ⅱ）由（I）得S=2sinαcosα-2sin²α，其中0≤α≤

π

4

，對函數(shù)的解析式進行化簡，再求三角函數(shù)的最值即可得到S的最大值

解答：解：（Ⅰ）過點F作FH⊥MN，H為垂足
由三角知識可證明∠EAB=∠FEH=α，F(xiàn)H=BE…2 分
在Rt△ABE中，EB=AEsinα=2sinα，BC=AB=AEcosα=2cosα
所以EC=BC-EB=2cosα-2sinα…4 分
所以△FCE的面積
S=

1

2

(2cosα-2sinα)•2sinα=2sinαcosα-2sin²α，其中0≤α≤

π

4

…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知S=2sinαcosα-2sin²α=sin2α+cos2α-1=

2

sin(2α+

π

4

)-1…（9分）
由0≤α≤

π

4

，得

π

4

≤2α+

π

4

≤

3

4

π，
∴當(dāng)2α+

π

4

=

1

2

π，即α=

π

8

時，S最大=

2

-1…（11分）
因此，當(dāng)α=

π

8

時，△EFC的面積S最大，最大面積為

2

-1．　　…12 分

點評：本題考查已知三角函數(shù)的模型的應(yīng)用問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)所研究的問題及圖形建立三角函數(shù)關(guān)系，再利用三角函數(shù)的知識求最值，得出實際問題的解，本題第二小問求面積的最值，利用到了三角函數(shù)有界性，本題考查了函數(shù)的思想及轉(zhuǎn)化的思想，本題運算量較大，計算時要嚴(yán)謹(jǐn)．