已知一焦點在x軸上，中心在原點的雙曲線的實軸等于虛軸，且圖象經(jīng)過點
2，
3
．
（1）求該雙曲線的方程；
（2）若直線y=kx+1與該雙曲線只有一個公共點，求實數(shù)k的值．
分析：（1）由題意知該雙曲線為等軸雙曲線，設(shè)雙曲線方程為
x2
a
2
-
y2
a
2
=1
a＞0
，把點（2，
3
）代入方程解出即可；
（2）直線y=kx+1與該雙曲線只有一個公共點，等價于直線與雙曲線的方程構(gòu)成的方程組只有一解，消去y后得到關(guān)于x的方程，然后分類討論即可；
解答：解：（1）∵a=b，∴所求圓錐曲線為等軸雙曲線．
∴設(shè)雙曲線方程為
x2
a
2
-
y2
a
2
=1
a＞0
，
∵圖象經(jīng)過點
2，
3
，∴
22
a
2
-
3
2
a
2
=1，解得a=1，
∴所求雙曲線方程為x2-y2=1；
（2）由
y=kx+1
x2-y2=1
⇒(k2-1)x2+2kx+2=0，
(1)當k2=1時，k=±1，直線與雙曲線的漸近線平行，
∴直線與雙曲線有一個交點．

(2)當k2≠1時，△=4k2-8(k2-1)=0
⇒k2=2⇒k=±
2
，
，
∴k=-1、1、
2
、-
2
，直線與雙曲線有一個公共點．
點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系及雙曲線方程的求解，考查分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想，屬中檔題．
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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓焦點在x軸上且長軸長|A1A2|=6，焦距|F1F2|=4
2
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•麗水一模）已知中心在坐標原點，焦點在x軸上的橢圓過點P（2，3），且它的離心率e=
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）與圓（x+1）2+y2=1相切的直線l：y=kx+t交橢圓于M，N兩點，若橢圓上一點C滿足
OM
+
ON
=λ
OC
，求實數(shù)λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知一焦點在x軸上，中心在原點的雙曲線的實軸等于虛軸，且圖象經(jīng)過點
2，
3
．
（1）求該雙曲線的方程；
（2）若直線y=kx+1與該雙曲線只有一個公共點，求實數(shù)k的值．

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年廣東省鶴山一中高二（上）期末數(shù)學試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

已知一焦點在x軸上，中心在原點的雙曲線的實軸等于虛軸，且圖象經(jīng)過點．
（1）求該雙曲線的方程；
（2）若直線y=kx+1與該雙曲線只有一個公共點，求實數(shù)k的值．

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