已知函數(shù)f(x)aln x(a為常數(shù))

(1)若曲線yf(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與直線x2y50垂直,求a的值;

(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(3)當(dāng)x≥1時(shí),f(x)≤2x3恒成立,求a的取值范圍.

 

1a12f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,+∞),單調(diào)減區(qū)間為3a≤1.

【解析】(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?/span>{x|x0},f′(x).

又曲線yf(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與直線x2y50垂直,

所以f′(1)a12,即a1.(4)

(2)f′(x) (x0)

當(dāng)a≥0時(shí),

f′(x)0恒成立,所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,+∞)

當(dāng)a0時(shí),

f′(x)0,得0x<-

所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間為;

f′(x)0,得x>-,

所以f(x)的單調(diào)減區(qū)間為.(10)

(3)設(shè)g(x)aln x2x3x[1,+∞),

g′(x)2.

h(x)=-2x2ax1,考慮到h(0)10,

當(dāng)a≤1時(shí),

h(x)=-2x2ax1的對(duì)稱軸x1,

h(x)[1,+∞)上是減函數(shù),h(x)≤h(1)a1≤0,

所以g′(x)≤0,g(x)[1,+∞)上是減函數(shù),

所以g(x)≤g(1)0,即f(x)≤2x23恒成立.

當(dāng)a1時(shí),

h(x)=-2x2ax10

x11,x20,

當(dāng)x[1,x1)時(shí),h(x)0,即g′(x)0,

g(x)[1,x1)上是增函數(shù);

當(dāng)x(x1,+∞)時(shí),h(x)0,即g′(x)0,

g(x)(x1,+∞)上是減函數(shù).

所以0g(1)g(x1),即f(x1)2x13,不滿足題意.

綜上,a的取值范圍為a≤1.(16)

 

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已知正方體的棱長(zhǎng)為1,其俯視圖是一個(gè)面積為1的正方形,側(cè)視圖是一個(gè)面積為的矩形,則該正方體的正視圖的面積等于(  )

A. B1 C. D.

 

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將函數(shù)ycos xsin x(xR)的圖象向左平移m(m0)個(gè)單位長(zhǎng)度后,所得到的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,則m的最小值是(  )

A. B. C. D.

 

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函數(shù)g(x)x22 013x,若g(a)g(b),ab,則g(ab)________.

 

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a,bR,且ab0,則下列不等式中,恒成立的是(  )

Aab≥2 B.

C.≥2 Da2b22ab

 

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設(shè)數(shù)列{bn}滿足bn2=-bn1bn(nN*),b22b1.

(1)b33,求b1的值;

(2)求證數(shù)列{bnbn1bn2n}是等差數(shù)列;

(3)設(shè)數(shù)列{Tn}滿足:Tn1Tnbn1(nN*),且T1b1=-,若存在實(shí)數(shù)p,q,對(duì)任意nN*都有pT1T2T3Tnq成立,試求qp的最小值.

 

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已知函數(shù)f(x)=-x3x2,g(x)aln xaR.

(1)若對(duì)任意x[1,e],都有g(x)≥x2(a2)x恒成立,求a的取值范圍;

(2)設(shè)F(x)P是曲線yF(x)上異于原點(diǎn)O的任意一點(diǎn),在曲線yF(x)上總存在另一點(diǎn)Q,使得POQ中的POQ為鈍角,且PQ的中點(diǎn)在y軸上,求a的取值范圍.

 

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在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線3x4y50與圓x2y24相交于A,B兩點(diǎn),則弦AB的長(zhǎng)等于________

 

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已知集合A{2,5},在A中可重復(fù)的依次取出三個(gè)數(shù)ab,c,則a,b,c為邊恰好構(gòu)成三角形的概率是________

 

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