Question

一袋子中裝著標有數(shù)字1，2，3的小球各2個，共6個球，現(xiàn)從袋子中任取3個小球，每個小球被取出的可能性都相等，用ξ表示取出的3個小球的數(shù)字之和．
求：（1）求取出的3個小球上的數(shù)字互不相同的概率；
（2）求隨機變量ξ的概率分布及數(shù)學期望E（ξ）（其中E（ξ）=x₁p₁+x₂p₂+…+x_np_n）．

Answer 1

分析：（1）記“一次取出的3個小球上的數(shù)字互不相同的事件”為A，由古典概型公式結合組合數(shù)性質能夠得到P(A)=

C 1 2 C 1 2 C 1 2

C 3 6

=

2

5

．由此能求出取出的3個小球上的數(shù)字互不相同的概率．
（2）由題意ξ可能的取值為4，5，6，7，8，P（ξ=4）=

C 2 2 C 1 2

C 3 6

=

1

10

，P（ξ=5）=

C 2 2 C 1 2 + C 1 2 C 2 2

C 3 6

=

1

5

，P(ξ=6)=

C 1 2 C 1 2 C 1 2

C 3 6

=

2

5

，P（ξ=7）=

C 1 2 C 2 2 + C 2 2 C 1 2

C 3 6

=

1

5

，P（ξ=8）=

C 1 2 C 2 2

C 3 6

=

1

10

．由此能求出隨機變量ξ的概率分布和期望．

解答：解：（1）記“一次取出的3個小球上的數(shù)字互不相同的事件”為A，…（1分）
則P(A)=

C 1 2 C 1 2 C 1 2

C 3 6

=

2

5

．   …（3分）
所以取出的3個小球上的數(shù)字互不相同的概率為

2

3

． …（4分）
（2）由題意ξ可能的取值為4，5，6，7，8，…（5分）
P（ξ=4）=

C 2 2 C 1 2

C 3 6

=

1

10

，…（6分）
P（ξ=5）=

C 2 2 C 1 2 + C 1 2 C 2 2

C 3 6

=

1

5

，…（7分）
P(ξ=6)=

C 1 2 C 1 2 C 1 2

C 3 6

=

2

5

，…（8分）
P（ξ=7）=

C 1 2 C 2 2 + C 2 2 C 1 2

C 3 6

=

1

5

，…（9分）
P（ξ=8）=

C 1 2 C 2 2

C 3 6

=

1

10

．…（10分）
所以隨機變量ξ的概率分布為

ξ	4	5	6	7	8
P	1 10	1 5	2 5	1 5	1 10

…（12分）
E(ξ)=4×

1

10

+5×

1

5

+6×

2

5

+7×

1

5

+8×

1

10

=6．…（14分）

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，解題時要注意古典概型的靈活運用，理解古典概型的特征：試驗結果的有限性和每一個試驗結果出現(xiàn)的等可能性，體現(xiàn)了化歸的重要思想，掌握列舉法，學會運用統(tǒng)籌思想解決概率的計算問題．