18.如圖所示四面體ABCD中，AB、BC、BD兩兩互相垂直，且AB＝BC＝2，E是AC中點(diǎn)，異面直線

AD與BE所成的角的大小為arccos.求四面體ABCD的體積.

18.解法一：如圖建立空間直角坐標(biāo)系.             

由題意，有A（0，2，0），C（2，0，0），E（1，1，0）.

設(shè)D點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，0，z）（z>0），

則＝｛1，1，0｝，Equation.3＝｛0，－2，z｝. 　　　　　　

設(shè)與Equation.3所成的角為，

則Equation.3·＝＝－2，

且AD與BE所成的角的大小為，

∴，

得z=4，故BD的長度是4. 　　　　　　　　　　　　　　　

 

又VABCD＝，

因此四面體ABCD的體積是.　　　　　　　　　　　　

解法二：過A引BE的平行線，交CB的延長線于F.

∠DAF是異面直線BE與AD所成的角.

∴∠DAF＝.　　　　　　　　　　　　　　　　

∵E是AC的中點(diǎn)，∴B是CF的中點(diǎn).

AF＝2BE＝.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

又BF、BA分別是DF、DA的射影，且BF＝BC＝BA，

∴DF＝DA.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

三角形ADF是等腰三角形，

AD＝，

故BD＝.　　　　　　　　　　　　　　　

又VABCD＝，

因此四面體ABCD的體積是.


練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)在如圖所示的四面體ABCD中，AB、BC、CD兩兩互相垂直，且BC=CD=1．
（Ⅰ）求證：平面ACD⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角C-AB-D的大��；
（Ⅲ）若直線BD與平面ACD所成的角為30°，求線段AB的長度．

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（2009•襄陽模擬）在如圖所示的四面體ABCD中，AB、BC、CD兩兩互相垂直，且BC=CD=1．
（1）求證：平面ACD⊥平面ABC；
（2）求二面角C-AB-D的大小；
（3）若直線BD與平面ACD所成的角為θ，求θ的取值范圍．

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如圖所示，直角梯形ACDE與等腰直角△ABC所在平面互相垂直，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，∠BAC=∠ACD=90°，AE∥CD，DC=AC=2AE=2．
（1）求證：平面BCD⊥平面ABC；
（2）求證：AF∥平面BDE；
（3）求四面體B-CDE的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，已知直三棱柱ABC-A′B′C′，AC=AB=AA′=2，AC，AB，AA′兩兩垂直，E，F(xiàn)，H分別是AC，AB，BC的中點(diǎn)，
（I）證明：EF⊥AH；    
（II）求四面體E-FAH的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2010•武漢模擬）如圖所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC的邊長為2a，側(cè)棱AA1=2a，M、N分別為AA1、BC中點(diǎn)
（1）求四面體C1-MNB1體積；
（2）求直線MC1與平面MNB1所成角正弦值．

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