Question

已知函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間上的最大值和最小值；

（2）如果函數(shù)，，，在公共定義域D上，滿足，那么就稱為為的“活動(dòng)函數(shù)”．已知函數(shù)，．若在區(qū)間上，函數(shù)是，的“活動(dòng)函數(shù)”，求的取值范圍。

Answer 1

解：（1）當(dāng)時(shí)，，；            

對(duì)于[1, e]，有，∴在區(qū)間[1, e]上為增函數(shù)

∴，．………………………………………… 3 分

（2）在區(qū)間（1，+∞）上，函數(shù)是的“活動(dòng)函數(shù)”，則

令，對(duì)恒成立，

且 =對(duì)恒成立，………………  5分

∵ （*）

1）  若，令，得極值點(diǎn)，，

當(dāng)，即時(shí)，在（，+∞）上有，此時(shí)在區(qū)間（，+∞）上是增函數(shù)，并且在該區(qū)間上有∈（，+∞），不合題意；

當(dāng)，即時(shí)，同理可知，在區(qū)間（1，+∞）上，有∈（，+∞），也不

合題意；  。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 7分

2） 若，則有，此時(shí)在區(qū)間（1，+∞）上恒有，從而在區(qū)間（1，+∞）

上是減函數(shù)；要使在此區(qū)間上恒成立，只須滿足，

所以a．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 9分

又因?yàn)閔^/（x）= –x+2a–= <0, h（x）在（1, +∞）上為減函數(shù)，

h（x）<h（1）= +2a0，  所以a綜合可知的范圍是[,]．  12分

另解：（接在（*）號(hào)后）先考慮h（x）,    h`（x） = – x + 2a =,

h（x）在（1,+¥）遞減，只要h（1） £ 0, 得，解得． 。。。。。。。。。。。8分

而p`（x）=對(duì)xÎ（1,+¥） 且有p`（x） <0．

只要p（1） £ 0, ，解得,所以．  。。。。。。。。。。。。12分