Question

12．如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知它的底面邊長為10，高為20．
（1）求正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的表面積與體積；
（2）若P、Q分別是BC、CC₁的中點(diǎn)，求異面直線PQ與AC所成角的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)表示）．

Answer 1

分析 （1）由${S_{正三棱柱ABC-{A_1}{B_1}{C_1}表}}=2{S_{△ABC}}+3{S_{矩形AB{B_1}{A_1}}}$，能求出正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的表面積，再由底面積乘高能求出正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積．
（2）連結(jié)BA₁，BC₁，則BC₁∥PQ，A₁C₁∥AC，從而∠BC₁A₁等于異面直線PQ與AC所成角，由此能求出異面直線PQ與AC所成角的大�。�

解答 （本題滿分12分） 本題共2個小題，每小題（6分）．
解：（1）${S_{正三棱柱ABC-{A_1}{B_1}{C_1}表}}=2{S_{△ABC}}+3{S_{矩形AB{B_1}{A_1}}}=2×\frac{{\sqrt{3}}}{4}×{10^2}+3×10×20=600+50\sqrt{3}$，…（3分）
${V_{正三棱柱ABC-{A_1}{B_1}{C_1}}}={S_{△ABC}}•A{A_1}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}×{10^2}×20=500\sqrt{3}$…（6分）
（2）連結(jié)BA₁，BC₁，則BC₁∥PQ，又A₁C₁∥AC，
故∠BC₁A₁等于異面直線PQ與AC所成角．…（8分）
由已知得$B{C_1}=B{A_1}=10\sqrt{5}，\;\;{A_1}{C_1}=10$，
故$cos∠B{C_1}{A_1}=\frac{{B{C_1}^2+{A_1}{C_1}^2-B{A_1}^2}}{{2•B{C_1}•{A_1}{C_1}}}=\frac{{\sqrt{5}}}{10}$．
于是異面直線PQ與AC所成角的大小為$arccos\frac{{\sqrt{5}}}{10}$．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查正三棱柱的體積和表面積的求法，考查異面直線所成角的大小的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．