Question

如圖所示，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=2，AC=．一曲線E過點(diǎn)C，動點(diǎn)P在曲線E上運(yùn)動，且保持|PA|+|PB|的值不變，直線l經(jīng)過A與曲線E交于M，N兩點(diǎn)．
（1）建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求曲線E的方程；
（2）設(shè)直線l的斜率為k，若∠MBN為鈍角，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）以AB所在直線為x軸，AB的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，確定P的軌跡為橢圓，即可求曲線E的方程；
（2）直線MN的方程為y=k（x+1），與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，結(jié)合向量知識，即可得出結(jié)論．
解答：解：（1）以AB所在直線為x軸，AB的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，則A（-1，0），B（1，0），
由題意，可得|PA|+|PB|=|CA|+|CB|=
∴P的軌跡為橢圓
設(shè)它的方程為（a＞b＞0），則a=，c=1
∴=1
∴橢圓的方程為；
（2）直線MN的方程為y=k（x+1），設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
直線與橢圓方程聯(lián)立，可得（1+2k²）x²+4k²x+2（k²-1）=0
∵△=8k²+8＞0
∴方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根
∴，
∴=（x₁-1，y₁），=（x₂-1，y₂）
∴=（x₁-1，y₁）•（x₂-1，y₂）=
∵∠MBN是鈍角
∴，即
解得：
又M、B、N三點(diǎn)不共線
∴k≠0
綜上所述，k的取值范圍是．
點(diǎn)評：本題考查軌跡方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．