Question

（2012•門(mén)頭溝區(qū)一模）已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，1），離心率為

2

2

，過(guò)點(diǎn)B（3，0）的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M，N．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若|MN|=

3 2

2

，求直線MN的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，1），離心率為

2

2

，可求橢圓的幾何量，從而可得橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)出MN的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用|MN|=

3 2

2

，可直線MN的斜率，從而可得直線MN的方程．

解答：解：（Ⅰ）由題意有 

4

a2

+

1

b2

=1，e=

c

a

=

2

2

，a²-b²=c²，
解得a=

6

，b=

3

c=

3

，
所以橢圓方程為

x2

6

+

y2

3

=1…（6分）
（Ⅱ）由直線MN過(guò)點(diǎn)B且與橢圓有兩交點(diǎn)，可設(shè)直線MN方程為y=k（x-3），
代入橢圓方程整理得（2k²+1）x²-12k²x+18k²-6=0…（8分）
△=24-24k²＞0，得k²＜1
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x1+x2=

12k2

2k2+1

，x1x2=

18k2-6

2k2+1

∴|MN|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(k2+1)(x1-x2)2

=

(k2+1)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

3 2

2

解得k=±

2

2

，所求直線方程為y=±

2

2

(x-3)…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程的求法，考查值域與橢圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵是看清題中給出的條件，靈活運(yùn)用韋達(dá)定理求弦長(zhǎng)．