Question

如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為BC的中點，F為DC₁的中點．
（1）求證：BD₁∥平面C₁DE；
（2）求三棱錐A-BDF的體積．

Answer 1

分析：（1）連接D₁C與DC₁交于點F，連接EF，由三角形中位線定理，我們可得EF∥BD₁，由線面平行的判定定理，即可得到BD₁∥平面C₁DE；
（2）由已知中正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，則點F到平面ABD的距離為1，求出棱錐的底面面積，代入棱錐的體積公式，即可求出三棱錐A-BDF的體積．

解答：解：（1）證明：連接D₁C與DC₁交于點F，連接EF
因為E為BC的中點，F為DC₁的中點．所以EF∥BD₁
又 EF?平面C₁DE，BD₁?平面C₁DE
所以BD₁∥平面C₁DE
（2）由于點F到平面ABD的距離為1
故三棱錐A-BDF的體積VA-BDF=VF-ABD=

1

3

S△ABD•1=

1

3

•

1

2

•2•2•1=

2

3

．

點評：本題考查的知識點是直線與平面平行的判定，棱錐的體積，其中（1）的關鍵是證得EF∥BD₁，（2）的關鍵是求出棱錐的底面面積及棱錐的高．