Question

已知函數(shù)f（x）=2sin（ωx+ϕ-）（0＜ϕ＜π，ω＞0），
（1）若函數(shù)y=f（x）圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為，且它的圖象過（0，1）點，求函數(shù)y=f（x）的表達式；
（2）將（1）中的函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移個單位后，再將得到的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的4倍，縱坐標不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)y=g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）若f（x）的圖象在x∈（a，a+）（a∈R）上至少出現(xiàn)一個最高點或最低點，則正整數(shù)ω的最小值為多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）由=可求ω，它的圖象過（0，1）點，0＜ϕ＜π，可求φ，從而可得函數(shù)y=f（x）的表達式；
（2）利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換可求得y=g（x）的解析式，從而可得其單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）利用T=＜，即可求得正整數(shù)ω的最小值．
解答：解：（1）依題意，=，故T=π，
∴ω=2；
又f（0）=2sin（2×0+ϕ-）=1，
∴sin（ϕ-）=，
∵0＜ϕ＜π，
∴φ=；
∴f（x）=2sin（2x+）；
（2）將f（x）=2sin（2x+）的圖象向右平移個單位得f（x-）=2sin[2（x-）+]=2sin（2x-），
再將得到的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的4倍，縱坐標不變，得y=g（x）=2sin（x-）；
由2kπ-≤x-≤2kπ+（k∈Z）得：
4kπ-≤x≤4kπ+（k∈Z），
∴g（x）=2sin（x-）的單調(diào)遞增區(qū)間為[4kπ-，4kπ+]（k∈Z）．
（3）∵f（x）=2sin（ωx+ϕ-）的圖象在x∈（a，a+）（a∈R）上至少出現(xiàn)一個最高點或最低點，
∴T=＜，
∴ω＞100π，
∴正整數(shù)ω的最小值為315．
點評：本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，考查正弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于難題．