Question

已知遞增的等比數列{a_n}滿足a₂+a₃+a₄=28，a₃+2是a₂，a₄的等差中項，若b_n=（2n-1）a_n，求{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：等比數列的性質

專題：計算題,等差數列與等比數列

分析：設等比數列的公比為q，由等差數列的中項性質和等比數列的通項，即可求出得a₁，q，注意舍去一個，再由數列的求和方法：錯位相減法，求出數列的和．

解答： 解：設等比數列的公比為q，
則由a₃+2是a₂，a₄的等差中項，可得
a₂+a₄=2（a₃+2），
又a₂+a₃+a₄=28，則a₃+2（a₃+2）=28，即有a₃=8，a₂+a₄=20，
即有a₁q²=8，a₁q+a₁q³=20，
解得a₁=2，q=2或a₁=32，q=

1

2

（舍去），
則a_n=2•2^n-1=2ⁿ，
由b_n=（2n-1）a_n=（2n-1）•2ⁿ，
則S_n=1•2+3•2²+5•2³+…+（2n-3）•2^n-1+（2n-1）•2ⁿ①
則有2S_n=1•2²+3•2³+5•2⁴+…+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）•2ⁿ⁺¹②
①-②得，-S_n=2+2（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹．
=2+2•

4(1-2n-1)

1-2

-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
故S_n=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6．

點評：本題考查等比數列的通項和求和公式的運用，考查等差數列的性質，以及數列求和的方法：錯位相減法，考查運算能力，屬于中檔題．