Question

12．已知函數(shù)f（x）=x³-alnx．
（1）當(dāng)a=3，求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）-9x在區(qū)間$[\frac{1}{2}，2]$上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷f′（x）＞0解得x＞1，求出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）條件轉(zhuǎn)化為${g^'}（x）=3{x^2}-\frac{a}{x}-9≤0$在[$\frac{1}{2}$，2]上恒成立，得到a≥[h（x）]_max（$x∈[\frac{1}{2}，2]$），通過h（x）=3x³-9x，h′（x）=9x²-9，利用函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值求解即可．

解答 解：（1）根據(jù)條件${f^'}（x）=3{x^2}-\frac{3}{x}=\frac{{3（{x^3}-1）}}{x}$，又x＞0，則f′（x）＞0解得x＞1，
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（1，+∞）；
（2）由于函數(shù)g（x）在區(qū)間$[\frac{1}{2}，2]$上單調(diào)遞減，所以${g^'}（x）=3{x^2}-\frac{a}{x}-9≤0$在[$\frac{1}{2}$，2]上恒成立，
即3x³-9x≤a在$[\frac{1}{2}，2]$上恒成立，則a≥[h（x）]_max（$x∈[\frac{1}{2}，2]$），其中h（x）=3x³-9x，h′（x）=9x²-9，則h（x）在$[\frac{1}{2}，1]$上單減，在[1，2]上單增，$a≥{[h（x）]_{max}}=max\{h（\frac{1}{2}），h（2）\}=6$，經(jīng)檢驗(yàn)，a的取值范圍是[6，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．