Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=5，D，E分別為BC，BB₁的中點(diǎn)，四邊形B₁BCC₁是邊長(zhǎng)為6的正方形．
（Ⅰ）求證：A₁B∥平面AC₁D；
（Ⅱ）求證：平面A₁CE⊥平面AC₁D．

Answer 1

解：（Ⅰ）連接A₁C，與AC₁交于O點(diǎn)，連接OD．
∵△A₁BC中，O、D分別為AC₁和BC的中點(diǎn)，
∴OD∥A₁B．…（3分）
又∵OD?平面AC₁D，A₁B?平面AC₁D，…（4分）
∴A₁B∥平面AC₁D． …（5分）
（Ⅱ）證明：在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∵BB₁⊥平面ABC，AD?平面ABC，
∴B₁B⊥AD．
∵△ABC中，AB=AC，D為BC中點(diǎn)，
∴AD⊥BC．
又∵BC∩B₁B=B，BC、B₁B?平面B₁BCC₁
∴AD⊥平面B₁BCC₁．
∵CE?平面B₁BCC₁，∴AD⊥CE． …（7分）
∵四邊形B₁BCC₁為正方形，D，E分別為BC、BB₁的中點(diǎn)，
∴Rt△CBE≌Rt△C₁CD，可得∠CC₁D=∠BCE．
∴∠BCE+∠C₁DC=∠CC₁D+∠C₁DC=90°，可得C₁D⊥CE．…（9分）
∵AD∩C₁D=D，AD、C₁D?平面AC₁D
∴CE⊥平面AC₁D．
又∵CE?平面A₁CE，
∴平面A₁CE⊥平面AC₁D． …（12分）
分析：（Ⅰ）連接A₁C，與AC₁交于O點(diǎn)，連接OD．在△A₁BC中，利用中位線定理得到OD∥A₁B．最后根據(jù)線面平面的判定定理，得到A₁B∥平面AC₁D．
（II）首先利用直棱柱的性質(zhì)結(jié)合等腰三角形的中線也是高，得到AD⊥平面B₁BCC₁，所以有AD⊥CE．然后在正方形B₁BCC₁中，利用中點(diǎn)得到Rt△CBE≌Rt△C₁CD，從而證出C₁D⊥CE，結(jié)合線面垂直的判定定理得到CE⊥平面AC₁D．最后根據(jù)面面垂直的判定定理，證出平面A₁CE⊥平面AC₁D．
點(diǎn)評(píng)：本題以一個(gè)特殊的直三棱柱為例，要我們證明線面平行和面面垂直，著重考查了平面與平面垂直的判定定理和直線與平面平移的判定定理，屬于中檔題．