Question

若數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=pS_n+r（n∈N^*），p，r∈R，S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和．
（1）當(dāng)p=2，r=0時，求a₂，a₃，a₄的值；
（2）是否存在實數(shù)p，r，使得數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列？若存在，求出p，r滿足的條件；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）將等式中的n分別用2，3，4代替，再利用和與項的關(guān)系求出各項．
（2）通過仿寫作差得到項的遞推關(guān)系，若等比，各項非0，公比非0，第一項與第二項必須滿足同一的遞推關(guān)系．
解答：解：（1）因為a₁=1，a_n+1=pS_n+r，
當(dāng)p=2，r=0時，a_n+1=2S_n
所以a₂=2a₁=2，a₃=2S₂=2（a₁+a₂）=2×（1+2）=6，a₄=2S₃=2（a₁+a₂+a₃）=2×（1+2+6）=18．
（2）因為a_n+1=pS_n+r，
所以a_n=pS_n-1+r（n≥2），
所以a_n+1-a_n=（pS_n+r）-（pS_n-1+r）=pa_n，
即a_n+1=（p+1）a_n，其中n≥2，
所以若數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，則公比q=p+1≠0，所以p≠-1，
又a₂=p+r=a₁q=a₁（p+1）=p+1，故r=1．
所以當(dāng)p≠-1，r=1時，數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列．
點評：本題考查通過仿寫將項與和的遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為項的遞推關(guān)系；等比數(shù)列的必要條件．