Question

已知函數(shù)，f（x）=x²，g（x）=2eln（x＞0）（e為自然對數(shù)的底數(shù)），它們的導(dǎo)數(shù)分別為f′（x）、g′（x）．
（1）當(dāng)x＞0時，求證：f′（x）+g′（x）≥4；
（2）求F（x）=f（x）-g（x）（x＞0）的單調(diào)區(qū)間及最小值．

Answer 1

解：（1）∵x＞0，f′（x）=2x，g′（x）=，
∴f′（x）+g′（x）=2（x+）≥2×2=4，
當(dāng)且僅當(dāng)x=，即x=時，等號成立．
∴f′（x）+g′（x）≥4
（2）F′（x）=f′（x）-g′（x）=2（x-）=（x＞0），
令F′（x）=0，得x=（x=-舍），
∴當(dāng)0＜x＜時，F(xiàn)′（x）＜0，F(xiàn)（x）在（0，）上單調(diào)遞減；
當(dāng)x＞時，F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）在（，+∞）上單調(diào)遞增．
∴當(dāng)x=時，F(xiàn)（x）有極小值，也是最小值，即F（x）min=F（）=e-2eln=0．
∴F（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，），最小值為0．
分析：（1）分別求出f′（x）、g′（x），然后利用基本不等式可證得結(jié)論；
（2）先求F′（x），然后利用導(dǎo)數(shù)符號確定函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性可得函數(shù)的最值．
點評：本題主要考查了基本不等式，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，同時考查了運算求解的能力，屬于中檔題．