Question

已知函數(shù)
（1）當a＝2時，求函數(shù)y＝f(x)的圖象在x=0處的切線方程；
（2）判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性；
（3）求證：

Answer 1

(1)  ；(2) 參考解析；（3）參考解析

試題分析：(1)已知函數(shù)是一個 含對數(shù)與分式，以及復(fù)合函數(shù)，需要正確地對函數(shù)求導(dǎo)，因為函數(shù)在x=0處的切線方程，所以將x=0代入導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率.再根據(jù)橫坐標為0，計算出縱坐標，根據(jù)點斜式即可寫出切線方程.
(2)需要判斷函數(shù)的單調(diào)性，要對函數(shù)求導(dǎo)，判斷導(dǎo)函數(shù)的值的正負，所以要根據(jù)參數(shù)的情況分類討論后作出判定.
（3)解法（一）令為特殊值，通過函數(shù)的單調(diào)性得到一個不等式成立，再將x轉(zhuǎn)化為數(shù)列中的n的相關(guān)的值，再利用一個不等式，從而得到結(jié)論.解法（二）根據(jù)結(jié)論構(gòu)造函數(shù)，通過函數(shù)的最值證明恒成立，再將x轉(zhuǎn)化為n的表達式即可.
試題解析：（1）當時，，
∴，
∴，所以所求的切線的斜率為3.又∵，所以切點為. 故所求的切線方程為：.
（2）∵，
∴． ①當時，∵，∴； ７分
②當時，
由，得；由，得； 綜上，當時，函數(shù)在單調(diào)遞增；
當時，函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
（3）方法一：由（2）可知，當時，在上單調(diào)遞增． ∴　當時，，即． 令（），則． 另一方面，∵，即,
∴　． ∴　（）． 方法二：構(gòu)造函數(shù)， ∴， ∴當時,；
∴函數(shù)在單調(diào)遞增． ∴函數(shù) ，即
∴，，即
令（），則有．