Question

已知數列{a_n}滿足a1=

1

4

，2an+an-1=(-1)nan•an-1(n≥2，n∈N*)，an≠0．
（1）求證：數列{

1

an

+(-1)n}是等比數列，并求{a_n}的通項公式；
（2）設bn=an•sin

(2n-1)π

2

，數列{b_n}的前n項和為T_n，求證：對任意的n∈N*有Tn＜

7

12

成立．

Answer 1

分析：（1）由2an+an-1=(-1)nan•an-1，兩邊同除以a_n•a_n-1，并整理，即可證得數列{

1

an

+(-1)n}是等比數列，利用等比數列的通項公式，可求{a_n}的通項公式；
（2）先確定數列{b_n}的通項公式，再進行放縮，利用等比數列的求和公式，即可證得結論．

解答：證明：（1）由2an+an-1=(-1)nan•an-1得

1

an

=(-1)n-

2

an-1

(n≥2，n∈N*)
∴

1

an

+(-1)n=(-2)•[

1

an-1

+(-1)n-1]
又∵

1

a1

+(-1)=3，
∴數列[

1

an

+(-1)n]是首項為3，公比為-2的等比數列，
從而

1

an

+(-1)n=3(-2)n-1，即an=

1

3(-2)n-1-(-1)n

；
（2）∵sin

(2n-1)π

2

=(-1)n-1，
∴bn=

(-1)n-1

3•(-2)n-1-(-1)n

=

1

3•2n-1+1

∴Tn=

1

3+1

+

1

3×2+1

+…+

1

3×2n-1+1

＜ 1 4 + 1 3×2 + 1 3×22 + 1 3•23 +…+ 1 3•2n-1 = 1 4 + 1 3 ( 1 2 + 1 22 +…+ 1 2n-1 )

=

1

4

+

1

3

×

1 2 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

=

1

4

+

1

3

-

1

2n-1

＜

7

12

．

點評：本題考查等比數列的證明，考查數列的通項與求和，考查不等式的證明，正確證明數列是等比數列是關鍵．