Question

已知中心在原點(diǎn)的橢圓C的左焦點(diǎn)F（-

3

，0），右頂點(diǎn)A（2，0）．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）斜率為

1

2

的直線l經(jīng)過點(diǎn)F且交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)|AB|．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用中心在原點(diǎn)的橢圓C的左焦點(diǎn)F（-

3

，0），右頂點(diǎn)A（2，0），可得a，c，求出b，即可求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）直線l的方程為y=

1

2

（x+

3

），代入橢圓方程，利用弦長(zhǎng)公式，即可求弦長(zhǎng)|AB|．

解答： 解：（1）∵中心在原點(diǎn)的橢圓C的左焦點(diǎn)F（-

3

，0），右頂點(diǎn)A（2，0），
∴c=-

3

，a=2，
∴b=1，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+y2=1；
（2）直線l的方程為y=

1

2

（x+

3

），代入橢圓方程可得2x²+2

3

x-1=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-

3

，x₁x₂=-

1

2

，
∴|AB|=

1+ 1 4

•

3-4×(- 1 2 )

=

5

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)．