Question

已知△ABC的邊AB邊所在直線的方程為x-3y-6=0，M（2，0）滿足

BM

=

MC

，點(diǎn)T（-1，1）在AC邊所在直線上且滿足

AT

=

AB

．
（I）求AC邊所在直線的方程；
（II）求△ABC外接圓的方程；
（III）若動(dòng)圓P過點(diǎn)N（-2，0），且與△ABC的外接圓外切，求動(dòng)圓P的圓心的軌跡方程．
請(qǐng)注意下面兩題用到求和符號(hào)：
f（k）+f（k+1）+f（k+2）+…+f（n）=

n

i=k

f(i)，其中k，n為正整數(shù)且k≤n．

Answer 1

分析：（I）由

AT

•

AB

=0，T在AC上，知△ABC是直角三角形．由AB邊所在的直線方程是x-3y-6=0，知直線AC的斜率是-3，再由T（-1，1）在直線AC上，能求出AC邊所在的直線方程．
（II）AC與AB的交點(diǎn)為A，由

x-3y-6=0 3x+y+2=0

，解得A（0，-2）．由

BM

=

MC

，知M（2，0）為Rt△ABC外接圓的圓心，再由r=|AM|=

(2-0)2+(0+2)2

=2

2

，能求出△ABC外接圓的方程．
（III）由動(dòng)圓P過點(diǎn)N，知|PN|是該圓的半徑，再由動(dòng)圓P與圓M外切，知|PM|=|PN|+2

2

，由此能得到點(diǎn)P的軌跡．

解答：解：（I）∵

AT

•

AB

=0，∴AT⊥AB，
∵T在AC上，∴AC⊥AB，△ABC是直角三角形．
又AB邊所在的直線方程是x-3y-6=0，
∴直線AC的斜率是-3，
∵T（-1，1）在直線AC上，
∴AC邊所在的直線方程是y-1=-3（x+1），即3x+y+2=0．
（II）AC與AB的交點(diǎn)為A，
由

x-3y-6=0 3x+y+2=0

，解得A（0，-2）．
∵

BM

=

MC

，
∴M（2，0）為Rt△ABC外接圓的圓心，
∵r=|AM|=

(2-0)2+(0+2)2

=2

2

，
∴△ABC外接圓的方程為：（x-2）²+y²=8．
（III）∵動(dòng)圓P過點(diǎn)N，所以|PN|是該圓的半徑，
又∵動(dòng)圓P與圓M外切，
∴|PM|=|PN|+2

2

，即|PM|-|PN|=2

2

．
故點(diǎn)P的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為2

2

的雙曲線的左支．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意直線和圓的位置關(guān)系的合理運(yùn)用．