Question

以下正確命題的為

②③④

①命題“存在x∈R，x²-x-2≥0”的否定是：“不存在x∈R，x²-x-2＜0”；
②函數(shù)f(x)=x

1

3

-(

1

2

)x的零點(diǎn)在區(qū)間(

1

3

，

1

2

)內(nèi)；
③在極坐標(biāo)系中，極點(diǎn)到直線l：ρsin(θ+

π

4

)=

2

的距離是

2

．
④函數(shù)f（x）=e^-x-e^x的圖象的切線的斜率的最大值是-2；
⑤線性回歸直線

y

=

b

x+

a

恒過(guò)樣本中心(

.

x

，

.

y

)，且至少過(guò)一個(gè)樣本點(diǎn)．

Answer 1

分析：由含有量詞的命題的否定規(guī)則，得到①不正確；根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理，可得②是真命題；將直線l的極坐標(biāo)方程化成普通方程，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式加以驗(yàn)證，可得③是真命題；根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則與導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合基本不等式求最值，可得④是真命題；根據(jù)線性回歸的概念與性質(zhì)，可得⑤不正確．由此可得本題的答案．

解答：解：對(duì)于①，命題的否定為“任意的x∈R，x²-x-2＜0”，所以①不正確；
對(duì)于②，因?yàn)?span id="q8u71ao" class="MathJye">f(x)=x

1

3

-(

1

2

)x，滿足f(

1

3

)=(

1

3

)

1

3

-(

1

2

)^

1

3

＜0，且f(

1

2

)=(

1

2

)

1

3

-(

1

2

)^

1

2

＞0，
所以函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間(

1

3

，

1

2

)，所以②是真命題；
對(duì)于③，將極坐標(biāo)方程化成普通方程，得x+y-2=0，
利用點(diǎn)到直線的距離公式，得極點(diǎn)（0，0）到直線的距離為
d=

|0+0-2|

2

=

2

，故③是真命題；
對(duì)于④，函數(shù)f（x）=e^-x-e^x的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=-e-x-ex=-(ex+

1

ex

)≤-2，
當(dāng)且僅當(dāng)ex=

1

ex

，即e^x=1，x=0時(shí)取等號(hào)，所以切線的斜率的最大值是-2，得④是真命題；
對(duì)于⑤，線性回歸直線

y

=

b

x+

a

恒過(guò)樣本中心(

.

x

，

.

y

)，但不一定過(guò)樣本點(diǎn)，可得⑤不正確，
綜上所述，得其中正確命題為②③④．
故答案為：②③④

點(diǎn)評(píng)：本題給出幾個(gè)關(guān)于函數(shù)的零點(diǎn)、函數(shù)圖象的切線和直線的極坐標(biāo)方程的幾個(gè)命題，求其中的真命題．著重考查了含有量詞的命題的否定、函數(shù)零點(diǎn)存在性定理、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則與幾何意義和基本不等式求最值等知識(shí)，屬于中檔題．