Question

已知向量=（2sinx，cosx），=（cosx，2cosx），函數(shù)f（x）=．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和最大值；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[]上的最大值和最小值．

Answer 1

解：（1）∵向量=（2sinx，cosx），=（cosx，2cosx），
∴f（x）==2sinxcosx+2cos²x=sin2x+cos2x+1=sin（2x+）+1
由此可得：函數(shù)的最小正周期是=π，最大值是+1；
（2）∵x∈[]，∴≤2x+≤
結合正弦函數(shù)的圖象，可得sin（2x+）∈[-1，]
∴f（x）=sin（2x+）+1的最大值為f（）=2，
最小值是為f（）=1-．
分析：（1）根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標運算公式，結合輔助角公式化簡可得f（x）=sin（2x+）+1，結合正弦函數(shù)的圖象與性質，即可得到求f（x）的最小正周期和最大值；
（2）因為x∈[]，所以2x+∈[，]，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調性即可得到函數(shù)f（x）的最大值和最小值．
點評：本題以向量的數(shù)量積運算為載體，求函數(shù)的單調增區(qū)間與最值，著重考查了三角恒等變換、三角函數(shù)的圖象與性質等知識，屬于基礎題．