Question

將半徑為72cm的扇形OAB剪去小扇形OCD，余下扇環(huán)ABCD的面積為648πcm²，圍成圓臺(tái)后，其上、下底半徑之差為6cm，求該圓臺(tái)的體積．

Answer 1

分析：設(shè)扇形的圓心角是α弧度，扇形OCD的半徑為R₁，圓臺(tái)上底面半徑為r₁，下底面半徑為r₂，高為h．根據(jù)弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式得到關(guān)于α和R₁的方程組，解之可得α=

π

3

且R₁=36cm，由此算出r₁、r₂和圓臺(tái)的高h(yuǎn)，結(jié)合圓臺(tái)體積公式即可算出該圓臺(tái)的體積．

解答：解：根據(jù)題意，設(shè)扇形的圓心角是α弧度，扇形OCD的半徑為R₁，
扇形OAB的半徑為R₂=72，圓臺(tái)上底面半徑為r₁，下底面半徑為r₂，圓臺(tái)高為h，
∵扇形OAB的面積S₂=

1

2

αR₂²=

1

2

α•72²，扇形OCD的面積S₁=

1

2

αR₁²
∴S₂-S₁=

1

2

α（72²-R₁²）=648πcm²，可得

1

2

α（72+R₁）（72-R₁）=648πcm²…（1）
∵弧AB=αR₂=72α=2π•r₂，弧CD=αR₁=2πr₁，r₂-r₁=6
∴r₂=

36α

π

，r₁=

R1α

2π

，可得

72α-R1α

2π

=6，整理得

1

2

α（72-R₁）=6π…（2）
將（2）代入（1），得6π•（72+R₁）=648πcm²，解得R₁=36cm
代入（2），得α=

π

3

，
從而得到r₁=6，r₂=12，圓臺(tái)母線長(zhǎng)為R₂-R₁=72-36=36
∴圓臺(tái)高h(yuǎn)=

362-(12-6)2

=6

35

根據(jù)圓臺(tái)體積公式，得圓臺(tái)的體積為
V=

πh

3

（r₁²+r₁r₂+r₂²）=

π

3

×6

35

（6²+6×12+12²）=504

35

πcm²．

點(diǎn)評(píng)：本題給出圓側(cè)面展開(kāi)的扇環(huán)的數(shù)據(jù)，求圓臺(tái)的體積．著重考查了弧長(zhǎng)公式、扇形面積公式和圓臺(tái)的側(cè)面積、體積公式等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．